Po egzaminie grupa uczniów sprawdziła swoje rozwiązania, a Adam zapisał swoje rozwiązanie na tablicy. Ich zadaniem było rozwiązanie nierówności logarytmicznej:$$ \log x-1 \geq 0 $$ Oto rozwiązanie Adama: (1) Adam zdał sobie sprawę, że logarytmy można przyjmować tylko dla liczb dodatnich. Dlatego do podanej nierówności dodał warunek rozwiązalności: $$ \log x-1 \geq 0;x>0 $$
(2) Przekształcił liczbę $0$ po prawej stronie nierówności do $\log 1$: $$ \log x-1 \geq \log 1 $$
(3) Usunął logarytmy z obu stron nierówności: $$ x-1 \geq 1 $$
(4) Rozwiązał powstałą nierówność i zapisał wynik za pomocą przedziału: $$ \begin{gather} x \geq 2 \cr x \in \langle 2;\infty) \end{gather} $$
(5) Na koniec Adam dokonał sprawdzenia, wybierając dowolną liczbę z powyższego przedziału. Sprawdzenie dla $x=100$: $$ \begin{gather} L=\log 100-1=2-1=1 \cr P=0 \cr L>P \end{gather} $$ Czy rozwiązanie Adama jest poprawne? Wyjaśnij.
Nie. Błąd tkwi w kroku (3). W tej postaci nie da się usunąć logarytmów z naszej nierówności, ponieważ liczba $-1$ nie jest częścią logarytmu po lewej stronie.
Błąd tkwi w kroku (2). Nie możemy napisać $0=\log 1$. Jest to logarytm o podstawie równej $10$ a zatem powinno być $0=\log 10$.
Nie. Błąd jest w kroku (3). Po usunięciu logarytmów znak nierówności powinien się zmienić.
Tak. Rozwiązanie Adama jest poprawne.
Adam poprawnie określił warunek rozwiązania, ale popełnił błąd przy usuwaniu logarytmów z nierówności. Prawidłowa procedura rozwiązania nierówności powinna brzmieć: Ustalenie warunków rozwiązywalności (logarytmy można przyjmować tylko dla liczb dodatnich): $$ \log {x}-1 \geq 0;~x>0 $$ Dodanie jedynki do obu stron nierówności: $$ \log x≥1 $$ Przepisanie prawej strony z użyciem logarytmu: $$ \log {x} \geq \log 10 $$ Usunięcie logarytmów z nierówności: $$ x \geq 10 $$ Zbiór rozwiązań to przedział $\langle 10; \infty )$.
Uwaga: Zbiór rozwiązań naszej nierówności jest przedziałem i sprawdzenie (krok (5)) nie może być wykonane przez podstawienie tylko jednej wybranej liczby z tego przedziału. W tym przypadku sprawdzenie nie jest konieczne i nie musimy go w ogóle wykonywać.