$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $

Nerovnosť vyriešili traja žiaci: $$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $$

Lukáš si všimol, že výraz $(x+2)^2$ je na oboch stranách, preto sa rozhodol, že obe strany nerovnice vydelí výrazom $(x+2)^2$. Uvedomil si, že delenie je prípustné len nenulovým výrazom. Stanovil si teda podmienku, že $x\neq -2$. To viedlo k zjednodušeniu nerovnosti: $$ 2(x+2)(x-3)\leq (x^2-4) $$ Nerovnosť ďalej zjednodušil: $$\begin{gather} 2(x^2-x-6)-x^2+4\leq 0 \cr x^2-2x-8\leq 0 \cr x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1} \cr x_1=4,~x_2=-2 \end{gather} $$

Vedel, že graf kvadratickej funkcie $f(x)=x^2-2x-8$ je parabola, ktorá sa otvára smerom nahor (vďaka kladnému koeficientu kvadratického člena) s priesečníkmi $-2$ a $4$ na osi $x$. Ďalej využil podmienku $x\neq -2$ a usúdil, že nerovnosť platí pre všetky reálne čísla v intervale: $$ x \in (-2;4 \rangle $$

Adam vyriešil nerovnosť takto: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \end{gather} $$ Obe strany nerovnosti vydelil výrazom $(x+2)^3$ a zároveň stanovil podmienku, že $x\neq -2$: $$ \begin{gather} 2(x-3)\leq x-2 \cr x\leq 4 \end{gather} $$ Adam tvrdí, že množina riešení nerovnice je množina všetkých reálnych čísel v intervale: $$ x \in (-\infty ;-2) \cup (-2;4 \rangle $$

Eva sa k nerovnosti postavila inak: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \cr (x+2)^3(2(x-3)-(x-2))\leq 0 \cr (x+2)^3(x-4)\leq 0 \end{gather} $$ Všimla si, že výraz na ľavej strane sa stáva nulovým, keď $x=-2$ a $x=4$, a že výraz je záporný, keď $x>-2$ a $x<4$. Z toho vyvodila, že nerovnosť je splnená vtedy a len vtedy: $$ x\in \langle -2;4 \rangle $$ Ktorý žiak postupoval pri riešení nerovnice správne?