$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $

Tři studenti řešili nerovnici: $$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $$

Lukáš si všiml, že výraz $(x+2)^2$ je na obou stranách rovnice, a proto se rozhodl obě strany rovnice tímto výrazem vydělit. Uvědomil si, že dělit lze pouze nenulovým výrazem, a tak určil podmínku $x\neq -2$. Tím nerovnici zjednodušil: $$ 2(x+2)(x-3)\leq (x^2-4) $$ Nerovnici dále upravoval: $$\begin{gather} 2(x^2-x-6)-x^2+4\leq 0 \cr x^2-2x-8\leq 0 \cr x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1} \cr x_1=4,~x_2=-2 \end{gather} $$

Věděl, že grafem kvadratické funkce $f(x)=x^2-2x-8$ je parabola otevřená nahoru (díky kladnému koeficientu kvadratického členu), která osu $x$ protíná v $-2$ a $4$. Dále využil podmínku $x\neq -2$ a došel k závěru, že nerovnice je splněna pro všechna reálná čísla z intervalu $$ x \in (-2;4 \rangle $$

Adam řešil nerovnici takto: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \end{gather} $$ Vydělil obě strany nerovnice výrazem $(x+2)^3$ a zároveň určil podmínku $x\neq -2$: $$ \begin{gather} 2(x-3)\leq x-2 \cr x\leq 4 \end{gather} $$ Adam tvrdí, že množinou řešení nerovnice je množina všech reálných čísel z intervalu: $$ x \in (-\infty ;-2) \cup (-2;4 \rangle $$

Eva postupovala při řešení odlišně: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \cr (x+2)^3(2(x-3)-(x-2))\leq 0 \cr (x+2)^3(x-4)\leq 0 \end{gather} $$ Všimla si, že výraz na levé straně bude nula, pokud $x=-2$ nebo $x=4$ a že bude záporný, pokud $x>-2$ a $x<4$. Z toho usoudila, že nerovnici vyhovují pouze: $$ x\in \langle -2;4 \rangle $$ Kdo z žáků při řešení nerovnice postupoval správně?