Dárius, Richard a Libor riešili rovnicu s absolútnou hodnotou: $$ |x| = x -1. $$ Každý z nich vyriešil rovnicu vlastným spôsobom:
Dárius si pamätal, že z rovnice $|x|=9$ vyplýva $x=9$ alebo $x=-9$, preto sa rozhodol postupovať analogicky: $$ x=x-1 \mathrm{~alebo~} x=-(x-1). $$ Obe rovnice vyriešil v hlave a zistil, že prvá rovnica nemá riešenie ($0\neq-1$) a druhá rovnica má riešenie $x=\frac12$. Dárius potom urobil skúšku, ktorá ukázala, že $x=\frac12$ nespĺňa pôvodnú rovnicu. Dospel k záveru, že daná rovnica nemá riešenie.
Richard si pamätal, že $|x|^2=x^2$, preto sa rozhodol odstrániť absolútnu hodnotu odmocnením oboch strán rovnice: $$ (|x|)^2=(x-1)^2. $$ Potom postupoval takto: $$ \begin{align} x^2=x^2-2x+1 \cr 2x=1 \cr x=\frac12 . \end{align} $$ Richard tiež dospel k riešeniu $x=\frac12$. Vykonal skúšku a zistil, že daná rovnica nemá riešenie.
Libor postupoval podľa definície absolútnej hodnoty, t. j. pre ľubovoľné reálne číslo: $$ |x|=x \mathrm{~ak~} x\geq 0 \mathrm{~a~} |x|=-x \mathrm{~ak~} x<0. $$ V prvom prípade, pre $x\geq 0$, dostal rovnicu: $$ x=x-1\mathrm{~(nie~riešenie)} $$ V druhom prípade pre $x<0$ dostal rovnicu $-x=x-1$, t. j. $$ \begin{align} x=-(x-1) \cr x=\frac12. \cr \end{align} $$ Po vykonaní skúšky konštatoval, že daná rovnica nemá riešenie.
Je niektoré z riešení, ktoré predložili študenti, nesprávne?
Nie, všetky riešenia sú správne.
Áno, Richardovo riešenie je nesprávne. Malo byť $|x|^2=\pm x^2$
Áno, Dáriusovo riešenie je nesprávne. Túto úvahu môžeme použiť len vtedy, ak je na pravej strane rovnice číslo.
Áno, Liborove riešenie je nesprávne. Mal riešiť rovnicu pre $x \in (-\infty;1)$ a pre $x \in \langle 1;+\infty)$.