Darius, Richard a Libor řešili rovnici s absolutní hodnotou: $$ |x| = x -1. $$ Každý z nich měl jiný postup řešení:
Darius si pamatoval, že rovnice $|x|=9$ má řešení $x=9$ nebo $x=−9$, proto se rozhodl postupovat analogicky: $$ x=x−1 \mathrm{~nebo~} x=−(x−1). $$ Řešil obě rovnice zpaměti a došel k závěru, že první rovnice nemá řešení ($0\neq−1$) a že druhá rovnice má řešení $x=\frac12$. Darius pak udělal zkoušku, která ukázala, že $x=\frac12$ nevyhovuje původní rovnici. Došel tak k závěru, že zadaná rovnice nemá řešení.
Richard si pamatoval, že $|x|^2=x^2$, proto se rozhodl odstranit absolutní hodnotu umocněním obou stran rovnice: $$ (|x|)^2=(x−1)^2. $$ Následně postupoval takto: $$ \begin{align} x^2=x^2−2x+1 \cr 2x=1 \cr x=\frac12 . \end{align} $$ Richard tedy také došel k řešení $x=\frac12$. Provedl zkoušku a zjistil, že zadaná rovnice nemá řešení.
Libor při řešení použil definici absolutní hodnoty, tedy toho, že pro libovolné reálné číslo platí: $$ |x|=x \mathrm{~jestliže~} x\geq 0 \mathrm{~a~} |x|=−x \mathrm{~jestliže~} x<0. $$ V prvním případě pro $x\geq 0$, získal rovnici: $$ x=x-1~\textrm{(nemá řešení)} $$ Ve druhém případě pro $x<0$ získal rovnici $-x=x-1$, $$ \begin{align} x=-(x-1) \cr x=\frac12. \cr \end{align} $$ Po provedení zkoušky zjistil, že zadaná rovnice nemá řešení.
Je některé z jejich řešení chybné?
Ne, všechny způsoby řešení jsou správné.
Ano, Richardovo řešení je chybné. Správně je $|x|^2=\pm x^2$.
Ano, Dariovo řešení je chybné. Jeho postup lze použít pouze v případě, že na pravé straně rovnice je číslo.
Ano, Liborovo řešení je chybné. Měl rovnici řešit pro $x \in (-\infty;1)$ a pro $x \in \langle 1;+\infty)$.