Dané sú body $K=[1; -4]$, $L=[2; -1]$ a $N=[-3; -2]$. Pomocou vektorového súčinu vhodne zvolených vektorov vypočítajte obsah rovnobežníka $KLMN$.
Rebeka úlohu vyriešila v nasledujúcich krokoch:
(1) Načrtla si rovnobežník $KLMN$. Potom na jeho strany umiestnila vektory $\,\overrightarrow{u}$, $\,\overrightarrow{v}$ a vypočítala ich súradnice (pozrite obrázok):
\begin{aligned} \overrightarrow{u}&=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3)\cr \overrightarrow{v}&=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2) \end{aligned}
(2) Podľa zadania vypočítala vektorový súčin vektorov $\,\overrightarrow{u}$ a $\,\overrightarrow{v}$, pretože z hodín matematiky vedela, že obsah rovnobežníka sa dá vypočítať ako absolútna hodnota vektorového súčinu vektorov, vhodne umiestnených sa na jeho stranách: \begin{array}{ccc} 3 & 1 &3\cr 2 &-4 &2\cr \hline \end{array}
\begin{aligned}
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=\left(3\cdot(-4) - 2\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3\right)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=(-12 - 2; 2 + 12)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&= (-14; 14)
\end{aligned}
(3) Následne vypočítala absolútnu hodnotu vektora $(-14; 14)$: $$\left|(-14; 14)\right|=\sqrt{(-14)^2+14^2}=\sqrt{196+196}= \sqrt{196\cdot2}=14\sqrt2$$ (4) Nakoniec urobila záver, že plocha rovnobežníka $KLMN$ je $14\sqrt2$ jednotiek štvorcových.
Je v Rebekinom riešení chyba? Ak áno, zistite kde.
Nie. Celý postup je správny.
Áno. Chyba je v kroku (1). Nesprávne vypočítala súradnice jedného vektora.
Áno. Chyba je v kroku (2). Nesprávne vypočítala vektorový súčin vektorov $\,\overrightarrow{u}$ a $\,\overrightarrow{v}$.
Áno. Chyba je v kroku (3). Nesprávne vypočítala absolútnu hodnotu vektorového súčinu.
Rebeka sa pokúsila vypočítať vektorový súčin pre vektory definované v rovine. Neuvedomila si, že ten je definovaný len pre vektory v priestore.
Ak chceme vypočítať obsah rovnobežníka pomocou vektorového súčinu, musíme ho umiestniť do priestoru. Robíme to tak, že k súradniciam všetkých jeho vrcholov pridáme tretiu súradnicu rovnakej hodnoty (najčastejšie volíme tretiu súradnicu rovnú nule). Ukážeme si správny postup:
(1) $K=[1; -4; 0]$, $L=[2; -1; 0]$, $N=[-3; -2; 0]$
(2) \begin{aligned} &\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3; 0)\cr &\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2; 0)\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr &\qquad\qquad\begin{array}{cccc} 3 &0 &1 &3\cr 2 &0 &-4 &2\cr \hline \end{array}\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(3\cdot0 - 2\cdot0; 0\cdot(-4) - 0\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3) = (0 - 0; 0 - 0; 2 + 12) = (0; 0; 14) \end{aligned}
(3) $$A_{KLMN} =|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=\left|(0; 0; 14)\right|= \sqrt{0^2+0^2+14^2}=\sqrt{196} = 14 \textbf{ štvorcových jednotiek}.$$
Viete, prečo možno plochu rovnobežníka určiť podľa vzorca $\mathbf{A_{KLMN}=|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|}$?
Rovnobežník umiestnime do súradnicovej sústavy tak, aby ležal v rovine $xy$ (pozrite obrázok).
\begin{aligned}
&\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= (u_1; 0; 0)\cr
&\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= (v_1; v_2; 0)\cr
&\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr
&\qquad\begin{array}{cccc}
0 &0 &u_1 &0\cr
v_2 &0 &v_1 &v_2\cr
\hline
\end{array}\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(0\cdot0 - 0\cdot v_2; 0\cdot v_1 - u_1\cdot 0; u_1\cdot v_2 - 0\cdot v_1)\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= (0; 0; u_1\cdot v_2)\cr
&|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|= (0; 0; u_1\cdot v_2) =\sqrt{0^2+0^2+(u_1\cdot v_2)^2}=|u_1\cdot v_2 |,
\end{aligned}
kde $u_1$ je dĺžka strany rovnobežníka a $v_2$ veľkosť výšky na túto stranu rovnobežníka. Takže
$$|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=|u_1\cdot v_2 |= \mathbf{A_{KLMN}}.$$
