Biorąc pod uwagę punkty $K=[1; -4]$, $L=[2; -1]$ i $N=[-3; -2]$, oblicz pole równoległoboku $KLMN$ wykorzystując iloczyn krzyżowy odpowiednio dobranych wektorów.
Rebecca rozwiązała to zadanie w następujących krokach:.
(1) Naszkicowała równoległobok $KLMN$. Następnie umieściła wektory $\,\overrightarrow{u}$ i $\,\overrightarrow{v}$ na jego bokach i obliczyła ich współrzędne (patrz rysunek):
\begin{aligned} \overrightarrow{u}&=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3)\cr \overrightarrow{v}&=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2) \end{aligned}
(2) Zgodnie z zadaniem obliczyła iloczyn krzyżowy wektorów $\,\overrightarrow{u}$ i $\,\overrightarrow{v}$, ponieważ wiedziała również z lekcji matematyki, że pole równoległoboku można obliczyć jako wartość bezwzględną iloczynu wektorów znajdujących się na jego bokach: \begin{array}{ccc} 3 & 1 &3\cr 2 &-4 &2\cr \hline \end{array}
\begin{aligned}
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=\left(3\cdot(-4) - 2\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3\right)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&=(-12 - 2; 2 + 12)\cr
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,&= (-14; 14)
\end{aligned}
(3) Następnie obliczyła wartość bezwzględną wektora $(-14; 14)$: $$\left|(-14; 14)\right|=\sqrt{(-14)^2+14^2}=\sqrt{196+196}= \sqrt{196\cdot2}=14\sqrt2$$ (4)Na koniec odpowiedziała, że pole równoległoboku $KLMN$ wynosi $14\sqrt2$ jednostek kwadratowych.
Czy w rozwiązaniu Rebeki jest błąd? Jeśli tak, to gdzie.
Nie. Cała procedura jest prawidłowa.
Tak. Błąd jest w kroku (1). Nieprawidłowo obliczyła współrzędne jednego z wektorów.
Tak. Błąd jest w kroku (2). Nieprawidłowo obliczyła iloczyn krzyżowy wektorów $\,\overrightarrow{u}$ i $\,\overrightarrow{v}$.
Tak. Błąd występuje w kroku (3). Nieprawidłowo obliczyła wartość bezwzględną iloczynu krzyżowego.
Rebecca próbowała wyznaczyć iloczyn krzyżowy dla wektorów zdefiniowanych na płaszczyźnie, ale nie zdawała sobie sprawy, że iloczyn krzyżowy jest zdefiniowany tylko dla wektorów w przestrzeni.
Jeśli chcemy obliczyć pole równoległoboku za pomocą iloczynu krzyżowego, musimy umieścić równoległobok w przestrzeni. Robimy to poprzez dodanie trzeciej współrzędnej o tej samej wartości do współrzędnych wszystkich jego wierzchołków (najczęściej wybieramy trzecią współrzędną równą zero). Pokażmy prawidłową procedurę:
(1) $K=[1; -4; 0]$, $L=[2; -1; 0]$, $N=[-3; -2; 0]$
(2) \begin{aligned} &\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= L - K = (1; 3; 0)\cr &\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= N - K = (-4; 2; 0)\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr &\qquad\qquad\begin{array}{cccc} 3 &0 &1 &3\cr 2 &0 &-4 &2\cr \hline \end{array}\cr &\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(3\cdot0 - 2\cdot0; 0\cdot(-4) - 0\cdot1; 1\cdot2 - (-4)\cdot3) = (0 - 0; 0 - 0; 2 + 12) = (0; 0; 14) \end{aligned}
(3) $$A_{KLMN} =|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=\left|(0; 0; 14)\right|= \sqrt{0^2+0^2+14^2}=\sqrt{196} = 14 \textbf{ jednostki kwadratowe}.$$
Czy wiesz, dlaczego pole równoległoboku można wyznaczyć za pomocą wzoru $\mathbf{A_{KLMN}=|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|}$?
Umieśćmy równoległobok w układzie współrzędnych tak, aby leżał w płaszczyźnie $xy$ (patrz rysunek).
\begin{aligned}
&\overrightarrow{u}=\overrightarrow{KL}= (u_1; 0; 0)\cr
&\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KN}= (v_1; v_2; 0)\cr
&\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}:\cr
&\qquad\begin{array}{cccc}
0 &0 &u_1 &0\cr
v_2 &0 &v_1 &v_2\cr
\hline
\end{array}\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(0\cdot0 - 0\cdot v_2; 0\cdot v_1 - u_1\cdot 0; u_1\cdot v_2 - 0\cdot v_1)\cr
&\qquad\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}= (0; 0; u_1\cdot v_2)\cr
&|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|= (0; 0; u_1\cdot v_2) =\sqrt{0^2+0^2+(u_1\cdot v_2)^2}=|u_1\cdot v_2 |,
\end{aligned}
gdzie $u_1$ jest długością boku $\,\overrightarrow{u}$ równoległoboku i $v_2$ jest rozmiarem wysokości do boku $\,\overrightarrow{u}$ równoległoboku. Zatem
$$|\,\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\,|=|u_1\cdot v_2 |= \mathbf{A_{KLMN}}.$$
