V štvorci $KLMN$ je v strede strany $LM$ daný bod $P$, v strede strany $MN$ bod $Q$. Vyjadrite vektor $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}$ ako lineárnu kombináciu vektorov $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{KM}$ a $\overrightarrow{w}= \overrightarrow{LK}$.
Ján riešil úlohu takto:
(1) Umiestnil vektory $\,\overrightarrow{v}\,$ a $-\overrightarrow{w}\,$ tak, aby ich počiatočné body boli v bode $N$.
(2) Umiestil vektor $\,\overrightarrow{u}\,$ tak, aby jeho počiatočný bod bol v bode $M$.
(3) Zistil, že vektor $\,\overrightarrow{u}\,$ teraz spája koncové body vektorov $\frac12\, \overrightarrow{v}$ a $-\overrightarrow{w}\,$ umiestených tak, že ich počiatočný bod je v bode $N$.
(4) Vedel, že vektor, ktorý spája koncové body dvoch vektorov je ich rozdielom, preto nakoniec zapísal: $\ \overrightarrow{u} = \frac12\, \overrightarrow{v}\ –\ \overrightarrow{w}$.
Je Jánove riešenie správne? Pokiaľ nie, určte, kde Ján urobil chybu.
Jánove riešenie je správne.
Chyba je v kroku (1). Na obrázku nie je správne umiestený vektor $-\overrightarrow{w}$.
Chyba je v kroku (3). Fialovo znázornený vektor nie je umiestením vektora $\frac12\, \overrightarrow{v}$.
Chyba je v kroku (4). Vektor, ktorý spája koncové body dvoch vektorov, je ich rozdielom, a preto platí: $$\overrightarrow{u}=\frac12\, \overrightarrow{v}-\left(-\overrightarrow{w}\, \right)=\frac12\, \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}. $$
