Rysunek przedstawia wykresy dwóch funkcji przecinających się w dwóch punktach. Są to funkcje $f(x)=k\cdot |x-m|+n$ oraz $g(x)=ax+b$. Znaleźć współrzędne punktu $M$, w którym wykres funkcji $g$ przecina oś $y$.
Postępowanie:
(1) Korzystając z informacji, że wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkty $[3,2]$ i $[4,3]$, możemy ustalić, że $k=1$, $m=3$ i $n=2$. Zatem: $$ f(x)=|x-3|+2 $$
(2) Następnie znajdujemy współrzędne dwóch punktów, w których wykresy przecinają się. Na rysunku widać, że jednym z tych punktów jest punkt $[4,3]$, a drugi punkt przecięcia ma współrzędną $x$ równą $1$. Jego współrzędną $y$ obliczymy z równania funkcji $f$: $$ f(1)=|1-3|+2=4 $$
Dlatego drugim punktem przecięcia jest $[1,4]$.
(3)Teraz musimy wyznaczyć wartości $a$ i $b$ dla funkcji liniowej $g(x)=ax+b$. Znajdziemy $a$ i $b$ rozwiązując następujący układ równań: $$ \begin{aligned} 3 & =a\cdot 4+b\cr 4 & =a\cdot 1+b \end{aligned} $$
Na przykład, możemy wyodrębnić $b$ z obu równań i porównać otrzymane wyrażenia. Z pierwszego równania otrzymamy $b=3-4a$, a z drugiego $b=4-a$. Zatem: $$ \begin{aligned} 3-4a & =4-a \cr -4a+a & =4-3 \cr -3a & =1 \cr a & =-\frac13 \end{aligned} $$
Następnie podstawiamy wartość a do równania $b=4-a$, tj: $$ b=4-\left(-\frac13\right)=\frac{13}{3} $$ Oznacza to, że równaniem funkcji $g$ jest: $$ g(x)=-\frac13x+\frac{13}{3} $$
(4) Na koniec obliczamy współrzędną $y$ punktu $M$. Funkcja liniowa $g$ przecina oś $y$ w punkcie $M=[0,g(0)]=[0,\frac{13}{3}]$.
Czy w podanej procedurze jest jakiś błąd? Jeśli tak, określ gdzie.
Tak. W kroku (1) jest błąd. Prawdą jest, że na podstawie rysunku możemy stwierdzić, że $m=3$ i $n=2$. Nie jest jednak prawdą, że $k=1$. Biorąc pod uwagę, że funkcja $f$ jest malejąca na przedziale $(-\infty ,3\rangle$ i rośnie w przedziale $\langle 3,+\infty )$, musimy określić wartość k oddzielnie dla każdego przedziału. W przedziale $(-\infty ,3\rangle$, mamy $k=-1$, i w przedziale $\langle 3,+\infty )$, $k=1$.
Tak. W kroku (2) jest błąd. Nie możemy stwierdzić, że oba wykresy przechodzą przez punkt $[1,4]$. Podstawiając $x=1$ do funkcji $f$, otrzymamy punkt leżący na funkcji $f$, a nie na $g$.
Tak. W kroku (3) wystąpił błąd. Zestaw równań jest nieprawidłowy. Powinno być: $$ \begin{aligned} 4 & =a\cdot 3+b \cr 1 & =a\cdot 4+b \end{aligned} $$
Tak. W kroku (4) wystąpił błąd. Współrzędne punktu $M$ to $[\frac{13}3,0]$.
Nie. Całe postępowanie jest prawidłowe.
Ponieważ funkcja $$ f(x)=k\cdot |x-m|+n $$ jest malejąca w przedziale $(-\infty ,3\rangle$ i rosnące w $\langle 3,+\infty )$, jest jasne, żet $m=3$, np. $$ f(x)=k\cdot |x-3|+n. $$ Warunek $f(3)=2$ daje nam $n=2$, np., $$ f(x)=k\cdot |x-3|+2. $$ Wreszcie, z $f(4)=3$ otrzymujemy $3=k+2$, i.e., $k=1$. Zatem równaniem funkcji $f$ jest: $$ f(x)=|x-3|+2. $$
