Na obrázku sú grafy dvoch funkcií, ktoré sa pretínajú v dvoch bodoch. Tieto dve funkcie sú $f(x)=k\cdot |x-m|+n$ a $g(x)=ax+b$.
Nájdite súradnice bodu $M$, v ktorom sa graf funkcie $g$ pretína s osou $y$.
Postup riešenia:
(1) Na základe informácie, že graf funkcie $f$ prechádza bodmi $[3,2]$ a $[4,3]$, môžeme určiť, že $k=1$, $m=3$ a $n=2$.
Preto: $$ f(x)=|x-3|+2 $$
(2) Ďalej nájdeme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa grafy pretínajú. Z obrázka vidíme, že jeden z týchto bodov je bod $[4,3]$ a druhý priesečník má $x$-sovú súradnicu $1$. Jeho súradnicu $y$ vypočítame z rovnice funkcie $f$: $$ f(1)=|1-3|+2=4 $$ Druhým priesečníkom je teda bod $[1,4]$.
(3) Teraz musíme určiť hodnoty $a$ a $b$ pre lineárnu funkciu $g(x)=ax+b$. Nájdeme $a$ a $b$ riešením nasledujúcej sústavy rovníc: $$ \begin{aligned} 3 & =a\cdot 4+b\cr 4 & =a\cdot 1+b \end{aligned} $$ Z oboch rovníc môžeme napríklad osamostatniť $b$ a získané výrazy porovnať. Z prvej rovnice dostaneme $b=3-4a$ a z druhej rovnice dostaneme $b=4-a$.
Teda: $$ \begin{aligned} 3-4a & =4-a \cr -4a+a & =4-3 \cr -3a & =1 \cr a & =-\frac13 \end{aligned} $$ Ďalej dosadíme hodnotu $a$ do rovnice $b=4-a$, t. j.: $$ b=4-\left(-\frac13\right)=\frac{13}{3} $$ To znamená, že rovnica funkcie $g$ je: $$ g(x)=-\frac13x+\frac{13}{3} $$
(4) Nakoniec vypočítame $y$-súradnicu bodu $M$. Lineárna funkcia $g$ pretína os $y$ v bode $M=[0,g(0)]=[0,\frac{13}{3}]$.
Je v danom postupe nejaká chyba? Ak áno, uveďte kde.
Áno. V kroku (1) je chyba. Je pravda, že z obrázka vieme určiť, že $m=3$ a $n=2$. Nie je však pravda, že $k=1$. Vzhľadom na to, že funkcia $f$ je klesajúca na intervale $(-\infty ,3\rangle$ a rastúca na intervale $\langle 3,+\infty )$, musíme určiť hodnotu k, pre každý interval zvlášť. Na intervale $(-\infty ,3\rangle$ máme $k=-1$ a na intervale $\langle 3,+\infty )$ máme $k=1$.
Áno. V kroku (2) je chyba. Nemôžeme konštatovať, že oba grafy prechádzajú bodom $[1,4]$. Dosadením $x=1$ do funkcie $f$ dostaneme bod ležiaci na funkcii $f$, nie $g$.
Áno. V kroku (3) je chyba. Sústava rovníc je nesprávna. Mala byť: $$ \begin{aligned} 4 & =a\cdot 3+b \cr 1 & =a\cdot 4+b \end{aligned} $$
Áno. V kroku (4) je chyba. Súradnice bodu $M$ sú $[\frac{13}3,0]$.
Nie. Celý postup je správny.
Keďže funkcia $$ f(x)=k\cdot |x-m|+n $$ je klesajúca na intervale $(-\infty ,3\rangle$ a rastúca na $\langle 3,+\infty )$, je jasné, že $m=3$, t. j.:$$ f(x)=k\cdot |x-3|+n. $$ Podmienka $f(3)=2$ nám dáva $n=2$, t. j.: $$ f(x)=k\cdot |x-3|+2. $$ Napokon z $f(4)=3$ dostaneme $3=k+2$, t.j. $k=1$. Takže rovnica funkcie $f$ je: $$ f(x)=|x-3|+2. $$
