Zadanie: Wyznacz odległość, jaką musi pokonać statek płynący wzdłuż południka z portu macierzystego do miejsca docelowego, jeśli port macierzysty znajduje się na równiku, a miejsce docelowe na szerokości geograficznej $10^\circ$.
Alice rozwiązała zadanie w następujących krokach:
(1) Alice stwierdziła, że dla celów tego zadania szerokość geograficzną można uznać za miarę kąta między płaszczyzną równika a linią $p$ przechodzącą przez środek Ziemi i punkt docelowy statku na powierzchni Ziemi. Naszkicowała schemat ($2D$) przekroju Ziemi przez płaszczyznę zawierającą prostą $p$, która jest prostopadła do płaszczyzny równika. Jej celem było znalezienie długości łuku $\widehat{AB}$ odpowiadającego kątowi środkowemu $\varphi=10^\circ$ (patrz diagram).
(2) Wyraziła miarę kąta $\varphi$ w kategoriach długości łuku: Dana szerokość geograficzna $10^\circ$ odpowiada $\frac{1}{18}$ kąta prostego, co oznacza: $$\varphi=\frac{1}{18}\pi\ \mathrm{(rad)}$$
(3) Alicja stwierdziła, że w okręgu reprezentującym Ziemię długość łuku odpowiadająca kątowi środkowemu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ wynosi: $$\frac{1}{18}\pi\approx0{,}175$$ (4) Alice dodała jednostkę i doszła do wniosku, że poszukiwana odległość, jaką musi pokonać statek, wynosi około $0{,}175\,\mathrm{km}$.
Wynik jest nieprawidłowy. W którym kroku Alicja popełniła błąd?
Błąd występuje w kroku (1). Alicja źle zrozumiała szerokość geograficzną. Szerokość geograficzna to odległość kątowa miejsca na powierzchni Ziemi od biegunów (w naszym przypadku od bieguna północnego). Kąt $\varphi$ na wykresie powinien wynosić $80^\circ$.
Błąd tkwi w kroku (2). Podana szerokość $10^\circ$ odpowiada $\frac{1}{10}$ kąta prostego.
Błąd tkwi w kroku (3). W okręgu o promieniu $r$ długość łuku odpowiadająca kątowi środkowemu $\varphi$ wynosi $\varphi\cdot r$.
Błąd występuje w kroku (4). Obliczona wartość $0{,}175$ odpowiada $175\,\mathrm{km}$.
Alicja popełniła błąd w kroku (3). Długość łuku $\frac{1}{18}\pi\approx 0{,}175$ odpowiada kątowi środkowemu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ tylko na okręgu jednostkowym. Stąd wynik byłby poprawny, gdyby promień Ziemi wynosił $1\,\mathrm{km}$. W okręgu o promieniu $r$ długość łuku odpowiadająca kątowi środkowemu $\varphi$ wynosi $\varphi\cdot r$. Promień Ziemi wynosi $6\, 371\,\mathrm{km}$. Dlatego długość łuku na powierzchni Ziemi odpowiadająca kątowi środkowemu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ wynosi: $$\frac{\pi}{18}\cdot6\,371=1\,112\,\mathrm{km}.$$ Zatem statek płynący wzdłuż południka z portu macierzystego na szerokości geograficznej $10^\circ$ do miejsca docelowego na równiku musi pokonać około $1\,112\,\mathrm{km}$.
