Zadanie: Rozwiąż nierówność: $$\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3\ \mbox{ dla }\ x\in\mathbb{R}.$$ Marie rozwiązała zadanie w następujących krokach:.
(1) Zidentyfikowała punkty, w których funkcja cotangens jest nieokreślona: $$x=k\cdot\pi,\ \mbox{ gdzie }\ k\in\mathbb{Z}$$
(2) Ułożyła i rozwiązała równanie $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$: $$x=\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi,\ \mbox{ gdzie }\ k\in\mathbb{Z}$$ (3) Stwierdziła, że funkcja cotangens jest malejąca na każdym otwartym przedziale ograniczonym przez dwa kolejne punkty, w których jest nieokreślona, tj. na przedziałach: $$\left(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ gdzie }\ k\in\mathbb{Z}$$ (4)Marie dalej twierdziła, że poprzednie dwa kroki implikują, że dla każdego $k\in\mathbb{Z}$: $$\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3\Leftrightarrow 0+k\cdot\pi< x < \frac{\pi}{6}+k\cdot\pi$$ (5) Na koniec zapisała rozwiązanie nierówności otrzymanej w poprzednim kroku w postaci: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(0+k\cdot\pi;\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi\right)$$ Rozwiązanie jest nieprawidłowe. W którym kroku Marie popełniła błąd?
Błąd występuje w kroku (1). Marie nieprawidłowo zidentyfikowała punkty, w których funkcja cotangens jest niezdefiniowana.
Błąd znajduje się w kroku (2). Marie nieprawidłowo rozwiązała równanie $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$.
Błąd tkwi w kroku (3). Funkcja cotangens jest malejąca w swojej dziedzinie.
Błąd znajduje się w kroku (4). Marie nieprawidłowo zastosowała własność funkcji cotangens opisaną w kroku (3) do rozwiązania nierówności $\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3$.
Funkcja cotangens jest malejąca na każdym otwartym przedziale ograniczonym przez dwa kolejne punkty, w których funkcja jest nieokreślona, tj. na przedziałach $$\left(0+k\cdot\pi; \pi+k\cdot\pi\right),\mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}.$$ Dlatego w każdym z tych przedziałów (tj. dla każdego $k\in\mathbb{Z}$), (patrz rysunek): $$\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3\Leftrightarrow\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi<x<\pi+k\cdot\pi$$
Możemy zapisać rozwiązanie nierówności $\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3$ jako: $$K=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$
