Korzystając z kalkulatora, określ $\mathrm{cotg}\frac{\pi}{64}$. Zaokrąglij wynik do czterech miejsc po przecinku.
Adele wykonała następujące kroki:
(1) Przeliczyła kąt z radianów na stopnie: $$\mathrm{cotg}\frac{\pi}{64}=\mathrm{cotg}\left(\frac{45}{16}\right)^\circ$$
(2) Stwierdziła, że dla dowolnego kąta $x$, gdzie funkcje $\mathrm{tg}(x)$ oraz $\mathrm{cotg}(x)$ istnieją, funkcje te są wzajemnie odwrotne. (3) Na podstawie stwierdzenia (2) doszła do wniosku, że: $$\mathrm{cotg}\left(\frac{45}{16}\right)^\circ=\mathrm{tg}\left(\frac{16}{45}\right)^\circ$$
(4) Dlatego, używając kalkulatora, obliczyła: $$\mathrm{tg}\left(\frac{16}{45}\right)^\circ\approx 0{,}0062$$ (zaokrąglony do czterech miejsc po przecinku) i zadeklarowała go jako wynik końcowy.
Jej wynik jest jednak nieprawidłowy. W którym kroku Adele popełniła błąd?
Błąd jest w kroku (1). Konwersja kąta na stopnie była niepotrzebna, ale skoro zdecydowała się na konwersję, to powinna być wykonana poprawnie.
Błąd tkwi w kroku (2). Twierdzenie, że $\mathrm{tg}(x)$ oraz $\mathrm{cotg}(x)$ są zawsze funkcjami odwrotnymi, nie jest prawdą.
Błąd tkwi w kroku (3). Równanie $\mathrm{cotg}\left(\frac{45}{16}\right)^\circ=\mathrm{tg}\left(\frac{16}{45}\right)^\circ$ nie jest prawdą.
Błąd znajduje się w kroku (4). Adele popełniła błąd podczas korzystania z kalkulatora. Prawdopodobnie miała kalkulator ustawiony na radiany zamiast stopni podczas wprowadzania kąta w stopniach.
Dla każdego kąta $x$, dla którego funkcje $\mathrm{tg}(x)$ oraz $\mathrm{cotg}(x)$ są zdefiniowane, funkcje te są wzajemnie odwrotne, co oznacza: $$\mathrm{cotg} x=\frac{1}{\mathrm{tg} x}$$ Dlatego $$\mathrm{cotg}\frac{\pi}{64}=\frac{1}{\mathrm{tg}\frac{\pi}{64}}\approx20{,}3555,$$ lub prawidłowe użycie konwersji stopni: $$\mathrm{cotg}\frac{\pi}{64}=\mathrm{cotg}\left(\frac{45}{16}\right)^\circ=\frac{1}{\mathrm{tg}\left(\frac{45}{16}\right)^\circ }\approx20{,}3555.$$