Michael wie, że wykresy funkcji tangens i cotangens są w jakiś sposób powiązane, ale nie pamięta dokładnie, w jaki sposób i próbuje to rozgryźć. Zaczyna od spostrzeżenia, że wykres funkcji stycznej można uzyskać, przesuwając i odbijając wykres funkcji stycznej.
Uwaga: Michael zdaje sobie sprawę, że zarówno funkcja tangensa, jak i cotangensa są okresowe, co oznacza, że w ograniczonej przestrzeni można narysować tylko części ich wykresów. Aby uprościć wyjaśnienie swojej procedury, nazywa te części "wykresami tych funkcji". Rozwiązanie Michaela (patrz rysunek):
(1) Michael najpierw naszkicował wykres funkcji: $$f_1(x)=\mathrm{tg}\, x$$
(2) Następnie przesunął wykres $f_1$ w kierunku ujemnym wzdłuż osi $x$ przez $\frac{\pi}{2}$, uzyskując wykres funkcji: $$f_2(x)=\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(3) Następnie odbił symetrycznie wykres $f_2$ względem osi $x$, aby uzyskać wykres funkcji: $$f_3(x)=-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(4) Michael twierdził, że wykres $f_3$ pasuje do wykresu funkcji cotangens, dla wszystkich $x$ w swojej dziedzinie. Na podstawie swojego rozumowania doszedł do wniosku, że: $$-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{cotg}\, x$$
Czy rozwiązanie Michaela jest poprawne? Jeśli nie, zdecyduj, w którym kroku Michael popełnił błąd.
Michael nie popełnił błędu. Jego rozwiązanie jest poprawne.
Michael popełnił błąd w kroku (1). Wykres funkcji $f_1$ jest krzywą o innym kształcie.
Michael popełnił błąd w kroku (2). Jeśli wykres $f_2$ uzyskuje się przez przesunięcie wykresu $f_1$ w kierunku ujemnym wzdłuż osi $x$ o $\frac{\pi}{2}$, następnie: $$f_2(x)=f_1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael popełnił błąd w kroku (3). Jeśli wykres $f_3$uzyskuje się poprzez odbicie symetryczne wykresu $f_2$ względem osi $x$, to $f_3$ jest podana przez: $$f_3(x)=f_2(-x)=\mathrm{tg}\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael popełnił błąd w kroku (4). Wykres funkcji cotangens nie pasuje do wykresu funkcji $f_3$.
