Michael ví, že grafy funkcí tangens a kotangens spolu nějak souvisí, ale nepamatuje si přesně jak a snaží se to zjistit. Začíná pozorováním, že graf funkce kotangens lze získat posunutím a zrcadlovým převrácením grafu funkce tangens.
Poznámka: Michael ví, že obě funkce, tangens i kotangens, jsou periodické, což znamená, že jen části jejich grafů mohou být nakresleny v omezeném prostoru. Pro zjednodušení vysvětlení svého postupu nazývá tyto části "grafy těchto funkcí".
Michaelovo řešení (viz obrázek):
(1) Michael nejprve nakreslil graf funkce: $$f_1(x)=\mathrm{tg}\, x$$
(2) Poté posunul graf funkce $f_1$ ve směru záporné poloosy $x$ o $\frac{\pi}{2}$, čímž získal graf funkce: $$f_2(x)=\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(3) Pak převrátil graf funkce $f_2$ podle osy $x$, čímž získal graf funkce: $$f_3(x)=-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(4) Michael tvrdil, že graf funkce $f_3$ odpovídá grafu funkce kotangens pro všechna $x$ z jejího definičním oboru. Na základě těchto úvah dospěl k závěru, že: $$-\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{cotg}\, x$$
Je Michaelovo řešení správné? Pokud ne, rozhodněte, ve kterém kroku Michael udělal chybu.
Michael chybu neudělal. Jeho postup je správný.
Michael udělal chybu v kroku (1). Graf funkce $f_1$ je křivka jiného tvaru.
Michael udělal chybu v kroku (2). Pokud je graf funkce $f_2$ získán posunutím grafu funkce $f_1$ ve směru záporné polosy $x$ o $\frac{\pi}{2}$, pak: $$f_2(x)=f_1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\mathrm{tg}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael udělal chybu v kroku (3). Pokud je graf funkce $f_3$ získán převrácením grafu $f_2$ podle osy $x$, pak pro $f_3$ platí: $$f_3(x)=f_2(-x)=\mathrm{tg}\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael udělal chybu v kroku (4). Graf funkce kotangens neodpovídá grafu funkce $f_3$.
