Miguel sabe que las gráficas de las funciones tangente y cotangente están relacionadas de algún modo, pero no recuerda exactamente cómo e intenta averiguarlo. Empieza con la observación de que la gráfica de la función cotangente se puede obtener desplazando y reflejando la gráfica de la función tangente.
Nota: Michael es consciente de que tanto la tangente como la cotangente son funciones periódicas, lo que significa que se pueden dibujar partes de sus gráficas en un espacio limitado. Para simplificar la explicación de su procedimiento, se refiere a estas partes como «gráficas de estas funciones».
Resolución de Michael (ver la imagen):
(1) Primero, dibujó la gráfica de la función: $$f_1(x)=\tan x$$
(2) Luego desplazó la gráfica de $f_1$ hacia la dirección negativa del eje $x$ en $\frac{\pi}{2}$, obteniendo la gráfica de la función: $$f_2(x)=\tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(3) A continuación, reflejó la gráfica de $f_2$ a través del eje $x$ para obtener la gráfica de la función: $$f_3(x)=-\tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
(4) Michael afirmó que la gráfica de la función $f_3$ coincide on la gráfica de la función cotangente, para todo $x$ de su dominio. Basándose en este razonamiento, concluyó: $$-\tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cot x$$
¿Es esta resolución correcta? Si no, decide en qué paso se equivocó Michael.
Michael no cometió ningún error. Su solución es correcta.
Michael cometió un error en el paso (1). La gráfica de la función $f_1$ es una curva diferente.
Michael cometió un error en el paso (2). Si la gráfica de $f_2$ se obtiene desplazando la gráfica de $f_1$ hacia la dirección negativa del eje $x$ en $\frac{\pi}{2}$, entonces: $$f_2(x)=f_1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\tan\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael cometió un error en el paso (3). Si la gráfica de $f_3$ se obtiene reflejando la gráfica de $f_2$ a través del eje $x$, entonces $f_3$ viene dada por: $$f_3(x)=f_2(-x)=\tan\left(-x-\frac{\pi}{2}\right)$$
Michael cometió un error en el paso (4). La gráfica de la función cotangente no corresponde a la gráfica de $f_3$.
