Nauczyciel w klasie $30$ studentów losowo wybiera grupę $4$ studentów, aby byli jego asystentami przez tydzień. Tom, Peter i Jana są przyjaciółmi i chcieliby wziąć udział w selekcji razem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej dwoje z tych przyjaciół zostanie włączonych do grupy?
Obliczyli oni prawdopodobieństwo w następujący sposób:
(1) Jana określiła całkowitą liczbę możliwych $4$-grupy członków, które nauczyciel może utworzyć jako nieuporządkowane kombinacje $4$ z $30$, tj: $${30 \choose 4}=27\,405$$
(2) Petr obliczył liczbę grup, w których wszyscy trzej przyjaciele są razem, która według niego wynosiła $27$.
(3) Tom obliczył liczbę grup, w których dokładnie dwóch przyjaciół jest razem: $${3\choose2}\cdot{28\choose2}=1\,134$$
(4) Jana szybko zsumowała liczbę korzystnych grup: $27+1134$. Według Jany, nauczyciel może stworzyć łącznie $1\,161$ grup, w których są co najmniej dwaj znajomi.
(5) Tomek wykonał zadanie, obliczając prawdopodobieństwo, że co najmniej dwóch przyjaciół będzie razem: $$\frac{1\,161}{27\,405}=0{,}0424$$
Czy rozwiązali problem poprawnie? Jeśli ktoś popełnił błąd w rozumowaniu, kto go popełnił?
Wspólnie rozwiązali problem prawidłowo.
Jana popełniła błąd w kroku (1). Powinna była obliczyć całkowitą liczbę $4$-grupy członkowskie jako uporządkowane zestawy czterech: $$30\cdot29\cdot28\cdot27=657\,720$$
Petr popełnił błąd w kroku (2). Liczba grup, w których wszyscy trzej przyjaciele są razem, wynosi $30$.
Tomek popełnił błąd w kroku (3). Liczba grup, w których dokładnie dwóch przyjaciół jest razem, wynosi: $${3\choose2}\cdot{27\choose2}=1\,053$$
Nauczyciel może utworzyć łącznie $1080(= 27 + 1053)$ grup, w których znajduje się co najmniej dwóch znajomych. Prawdopodobieństwo, że co najmniej dwóch znajomych będzie razem wynosi: $$\frac{1\,080}{27\,405}\doteq0{,}0394$$