Kod PIN składa się z $4$cyfr. Tom chciał wiedzieć, ile różnych kodów PIN może utworzyć, jeśli cyfra w kodzie PIN może powtórzyć się co najwyżej dwa razy. Tomek rozwiązał zadanie w następujący sposób: (1)Zdał sobie sprawę, że może wykorzystać łącznie $10$ cyfr.
(2)Po pierwsze, obliczył całkowitą liczbę różnych kodów PIN bez uwzględnienia powtarzalności poszczególnych cyfr. Według Toma istnieją $10^4=10\,000$ możliwości.
(3) Następnie Tom obliczył liczbę możliwych kodów PIN, które nie spełniają danego warunku, w szczególności tych zawierających cyfrę, która powtarza się dokładnie trzy razy:
$\qquad$ a) Istnieje $10$ różnych trójek składających się z tej samej cyfry.
$\qquad$ b)Dla każdej takiej trójki istnieją $4$ różne rozmieszczenia cyfr w kodzie PIN.
$\qquad$ c) Triplet tej samej cyfry może zostać uzupełniony do kodu PIN przy użyciu jednej z następujących metod $10$ różnych cyfr.
$\qquad$ d) W związku z tym istnieje łącznie $4\cdot10\cdot10=400$ kodów PIN zawierających potrójną liczbę tych samych cyfr.
(4) Tom nie zapomniał o "zakazanych" kodach PIN składających się z czterech identycznych cyfr. Według Toma istnieje $10$ z nich.
(5) Na koniec Tom odjął liczbę wszystkich "zabronionych" kodów PIN od całkowitej liczby wszystkich możliwych kodów PIN i uzyskał wynik: $$10^4-400-10=9\,590$$ różnych kodów PIN spełniających dany warunek.
Czy Tom popełnił błąd w swoim rozumowaniu?
Nie. Tom rozwiązał problem poprawnie.
Tak. Popełnił błąd w kroku (2). Całkowita liczba różnych kodów PIN bez uwzględnienia powtórzeń cyfr wynosi $10\cdot9\cdot8\cdot7=5\,040$. Tak więc, $5\,040-400-10=4\,630$ można utworzyć różne kody PIN spełniające dany warunek.
Tak. Popełnił błąd w kroku (3b). Trójka cyfr może być ułożona w PIN tylko na $3$ sposoby. W związku z tym istnieje łącznie $3\cdot10\cdot10=300$ różnych kodów PIN zawierających trójkę tych samych cyfr. Zatem, $10^4-300-10=9\,690$ można utworzyć różne kody PIN spełniające dany warunek.
Tak. Popełnił błąd w kroku (3c). Trójka tych samych cyfr może zostać uzupełniona do poprawnego kodu PIN z dokładnie $9$ różnych cyfr. W związku z tym istnieje łącznie $4\cdot10\cdot9=360$ kodów PIN zawierających potrójną liczbę tych samych cyfr. Tak więc, $10^4-360-10=9\,630$ można utworzyć różne kody PIN spełniające dany warunek.