Alicja otrzymała zadanie znalezienia punktów przegięcia na wykresie funkcji: $$ f(x)=x+\sqrt[3]{x^5},~\mathrm{gdzie}~x\in \mathbb{R} $$ Najpierw znalazła pierwszą pochodną $f$: $$ f'(x)=1+\frac53 x^{\frac23}=1+\frac53 \sqrt[3]{x^2} $$ a także drugą pochodną $f$: $$ f''(x)=\frac{10}9 x^{-\frac13}=\frac{10}{9\sqrt[3]x} $$ Następnie ustawiła drugą pochodną równą zero, otrzymując równanie: $$ \frac{10}{9\sqrt[3]x}=0 $$ która nie ma prawdziwego rozwiązania. Na tej podstawie doszła do wniosku, że wykres funkcji $f$ nie ma punktów przegięcia. Nauczyciel poprosił kolegów Alicji o skomentowanie jej rozwiązania:
George twierdzi, że aby znaleźć punkty przegięcia, Alicja powinna była ustawić pierwszą pochodną równą zero. Druga pochodna nie jest potrzebna.
Sandra twierdzi, że w drugiej pochodnej jest błąd. Poprawnie powinno być $$f''(x)=1+\frac{10}9 x^{-\frac13}=1+\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$
Monika mówi, że z równania $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ wynika $x=0$.
Eva mówi, że zgadza się z Alice, że równanie $\frac{10}{9\sqrt[3]x}=0$ nie ma prawdziwego rozwiązania. Fakt ten nie może być jednak wykorzystany do wyciągnięcia jakichkolwiek wniosków na temat punktów przegięcia. Jeśli sprawdzimy pierwszą pochodną, zobaczymy, że jest ona dodatnia dla wszystkich rzeczywistych $x$. Oznacza to, że dana funkcja jest zawsze rosnąca. Zatem taka funkcja nie ma punktu przegięcia.
Zdecyduj, który z kolegów ma rację.
George
Sandra
Monika
Eva
Żadne z nich
Równanie $$f''(x)=\frac{10}{9\sqrt[3]x}$$ dla drugiej pochodnej jest zdefiniowane dla wszystkich wartości $x$ z wyjątkiem $0$. Druga pochodna przy $x=0$ nie istnieje. Może jednak wystąpić punkt przegięcia, w którym druga pochodna nie istnieje. Zaobserwujmy następującą sytuację: Pierwsza pochodna funkcji f w punkcie $x=0$ jest skończona (w szczególności jest równa $1$). Co więcej, nietrudno to zauważyć: $$ \begin{aligned} f''(x)&>0 \mathrm{~na~} (0,+\infty) \cr f''(x)&<0 \mathrm{~na~} (-\infty,0) \end{aligned} $$ Stąd możemy wywnioskować, że funkcja $f$ jest ściśle wklęsła na $(-\infty,0)$ i ściśle wypukła na $(0,+\infty)$. Oznacza to, że istnieje punkt przegięcia w $x=0$, tak więc punkt $[0;0]$ jest punktem przegięcia wykresu funkcji $f$ (patrz rysunek).
