Nauczyciel poprosił uczniów o uważne przestudiowanie poniższej procedury rozwiązywania równania wykładniczego: $$3^{x+1}-3^x=3^x+9$$
1) Modyfikujemy prawą stronę tego równania: $$3^{x+1}-3^x=3^x+3^2$$
2) Po obu stronach równania występują teraz potęgi o podstawie $3$. Jeśli anulujemy podstawy, otrzymamy następującą zależność dla wykładników: $$x+1-x=x+2$$
3) Równość $x+1-x=x+2$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: $$x=-1$$
4) W tym przypadku sprawdzanie nie jest konieczne.
Czy w którymś z kroków wystąpił błąd? Jeśli tak, określ gdzie.
Tak. W kroku (1) wystąpił błąd. Powinno być $3^{x+1}-3^x=3^{x+2}$.
Tak. W kroku (2) wystąpił błąd. W tym przypadku nie jest możliwe anulowanie baz.
Tak. W kroku (3) wystąpił błąd. Powinno być $x=\frac12$.
Tak. W kroku (4) wystąpił błąd. Wykonanie sprawdzenia jest integralną częścią procedury rozwiązywania.
Nie. Cała procedura jest prawidłowa.
Prawidłowe rozwiązanie równania wykładniczego: $$ 3^{x+1}-3^x=3^x+9 $$
1)Modyfikujemy wyrażenie $3^{x+1}$po lewej stronie równania, stosując reguły dotyczące wykładników: $$ 3^x 3^1-3^x=3^x+9 $$
2) Odejmujemy wyrażenie $3^x$ od obu stron równania: $$ 3^x 3^1-3^x-3^x=9 $$
3) Odejmujemy współczynnik po lewej stronie i rozwiązujemy równanie: $$ \begin{aligned} 3^x (3^1-1-1) & = 9 \cr 3^x & =9 \cr 3^x & =3^2 \cr x & =2 \end{aligned} $$