Nauczyciel wybrał trzech uczniów, Piotra, Jerzego i Jana, do rozwiązania równania: $$ 2^{x-1}=2-\log_22 $$ Po pierwsze, wszyscy trzej uczniowie zmodyfikowali równanie do postaci: $$ 2^{x-1}=1 $$ Następnie postąpili inaczej:
Petr: Twierdził, że równanie nie ma rozwiązania. Twierdził, że wartość potęgi $2$ nigdy nie może być równa $1$.
George: Wziął logarytm z obu stron równania: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr \log 2^{x-1} & =\log 1 \end{aligned} $$ Następnie zastosował regułę logarytmu: $$ \log_a x^n =n \cdot \log_a x $$ i otrzymał równanie: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ Rozwiązał to równanie w następujący sposób: $$ \begin{aligned} (x-1) \log2 & =\log 1 \cr x-1 & =\log \frac12 \cr x-1 & =\log 2^{-1} \cr x-1 & =-\log 2 \cr x & =1-\log 2 \end{aligned} $$
John: Zdając sobie sprawę, że liczbę $1$ można wyrazić jako $2^0$, przepisał równanie jako: $$ \begin{aligned} 2^{x-1} & =1 \cr 2^{x-1} & =2^0 \end{aligned} $$ Następnie, porównując wykładniki dla tej samej podstawy, uzyskał rozwiązanie: $$ \begin{aligned} x-1 & =0 \cr x & =1 \end{aligned} $$ Czyja procedura była prawidłowa?
Johna
Petera
Jerzego
Niczyja. W każdej procedurze jest błąd.
Procedura Johna jest prawidłowa.
Peter popełnił błąd, twierdząc, że wartość potęgi $2$ nigdy nie może być równa $1$.Nie zdawał sobie sprawy, że $2^0=1$.
Jerzy popełnił błąd w modyfikacji równania: $$ (x-1) \log 2=\log 1 $$ W szczególności popełnił błąd, gdy próbował przekształcić wyrażenie $\log 2$ z lewej strony równania na prawą stronę. Nie jest prawdą, że: $$\frac{\log 1 }{\log 2} =\log \frac12$$ Gdyby zdawał sobie z tego sprawę $\log 1=0$, otrzymałby równanie: $$x-1=0$$ a tym samym prawidłowe rozwiązanie.