Uczeń Peter rozwiązał równanie wykładnicze $$ 10^x+100=10 $$ w następujący sposób:
(1) Przepisał liczby $100$ i $10$ jako potęgi liczby $10$: $$ 10^x+10^2=10^1 $$
(2) Uprościł lewą stronę równania: $$ 10^{x+2}=10^1 $$
(3) Na podstawie równości uprawnień o tej samej podstawie doszedł do wniosku: $$ x+2=1 $$
(4) Rozwiązał otrzymane równanie: $$ x=-1 $$
(5) Sprawdził swoje rozwiązanie i stwierdził, że: $$ \begin{aligned} L & = 10^{-1}+100=100{,}1 \cr P & = 10 \cr L & \neq P \end{aligned} $$ Następnie stwierdził, że równanie nie ma żadnego rozwiązania.
Czy Peter popełnił błąd? Jeśli tak, wskaż krok, w którym wystąpił błąd.
Tak. Błąd tkwi w kroku (1). Lewa strona równania ma postać sumy, więc liczba $100$ nie może być przepisana jako $10^2$.
Tak. Błąd jest w kroku (2). Równość $10^x+10^2=10^{x+2}$ zasadniczo nie ma zastosowania.
Tak. Błąd jest w kroku (3). Wspomnianego uproszczenia można dokonać tylko wtedy, gdy podstawa jest mniejsza niż $1$.
Tak. Błąd jest w kroku (4). Rozwiązanie powinno brzmieć $x=-\frac12$.
Tak. Błąd jest w kroku (5). Podczas sprawdzania powinno być: $$ L =10^{−1}+10^2=10^1= 10 $$
Nie. Cała procedura jest prawidłowa.
Do rozwiązania tego równania niezbędna jest znajomość zasad potęgowania. Gdy dodajemy potęgi o tej samej podstawie, nie jest możliwe sumowanie ich wykładników. Taką operację można wykonać tylko w przypadku mnożenia potęg o tej samej podstawie. Prawidłowe rozwiązanie jest następujące: $$ \begin{gather} 10^x+100=10 \cr 10^x=-90 \end{gather} $$ Wyrażenie wykładnicze $10^x$ nie jest ujemna dla żadnej liczby rzeczywistej $x$,więc równanie nie ma rozwiązania. W tym przypadku sprawdzanie nie jest konieczne.