Określ współrzędne wierzchołków hiperboli $H$, określony przez jego ogólne równanie: $$4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 = 0.$$
Eric rozwiązał przykład w następujących krokach:
(1) Przekształcił on ogólne równanie hiperboli do jego standardowej postaci: $$\begin{alignat}2 4x^2 - 3y^2 + 16x + 18y - 23 &= 0 \cr 4x^2 + 16x - 3y^2 + 18y - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x) - 3(y^2 - 6y) - 23 &= 0 \cr 4(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3(y^2 - 6y + 9 - 9) - 23 &= 0 \cr 4\left[(x + 2)^2 - 4\right] - 3\left[(y - 3)^2 - 9\right] - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 16 - 3(y - 3)^2 + 27 - 23 &= 0 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 - 12 &= 0\quad &&\big/ + 12 \cr 4(x + 2)^2 - 3(y - 3)^2 &= 12\quad &&\big/ : 12 \cr \frac{(x + 2)^2}{3} - \frac{(y - 3)^2}{4} &= 1 \end{alignat}$$
(2) Wyznaczył on współrzędne środka, oznaczone jako $S$, hiperboli: $S=[-2; 3]$.
(3) Wyznaczył długości półosi hiperboli:
- $4 > 3 \Rightarrow$ Długość osi półśredniej, oznaczona jako $a$, jest $2$ jednostki $(a^2 = 4)$.
- Długość osi półminimalnej, oznaczona jako $b$, jest $\sqrt3$ jednostki $(b^2 = 3)$.
(4) Wyznaczył współrzędne wierzchołków hiperboli. Eric stwierdził, że główna oś hiperboli jest równoległa do osi y. Zatem wierzchołki hiperboli mają współrzędne$[-2; 3 – 2]$ and $[-2; 3 + 2]$, i.e., $[-2; 1]$ and $[-2; 5]$.
Rozwiązanie Erica nie jest poprawne. Gdzie Eric popełnił swój pierwszy błąd?
Pierwszy błąd występuje w kroku (1). Eric popełnił błąd, przekształcając podane równanie hiperboli do postaci standardowej.
Pierwszy błąd występuje w kroku (2). Eric nieprawidłowo określił współrzędne środka hiperboli.
Pierwszy błąd znajduje się w kroku (3). Eric nieprawidłowo określił długości półosi głównej i pomocniczej.
Pierwszy błąd występuje w kroku (4). Eric nieprawidłowo określił współrzędne wierzchołków hiperboli.
(1) Biorąc pod uwagę równanie hiperboli$4x^2 – 3y^2 + 16x + 18y – 23 = 0$, przekształcamy do postaci standardowej $H$: $$\frac{(x + 2)^2}{3} –\frac{(y - 3)^2}{4} = 1.$$
(2) Centrum,$S$, hiperboli wynosi: $S=[m; n]=[-2; 3]$.
(3) Znajdujemy długości głównej i pomocniczej półosi hiperboli, oznaczone jako $a$ i $b$:
Biorąc pod uwagę, że$a^2$ jest w równaniu hiperboli w ułamku nie poprzedzonym znakiem ujemnym $($-$)$, mamy $a^2=3$. Długość osi półśredniej, $a$, jest zatem$\sqrt3$ jednostki.
Biorąc pod uwagę, że $b^2$ jest w równaniu hiperboli w ułamku poprzedzonym znakiem ujemnym$($-$)$, mamy $b^2=4$. Długość osi półśredniej, $b$, jest zatem $2$ jednostki.
(4) Oś główna, $a$, danej hiperboli jest równoległa do osi x. Zatem wierzchołkami hiperboli są:$[m-a;n]=\left[-2-\sqrt3;3\right]$ i $[m+a;n]=\left[-2+\sqrt3;3\right]$.