Tomek i Anna rozwiązali następujące zadanie:
W zbieżnym, nieskończonym ciągu geometrycznym $(a_n )$ z wyrazami dodatnimi, pierwszy wyraz jest równy $4$. Znajdź sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, jeśli $a_3-a_5=\frac{32}{81}$.
Zarówno Tomek, jak i Anna wiedzieli, że w ciągu geometrycznym $(a_n )$ z ilorazem $r$ $$ a_3 =a_1 r^2,a_5 =a_1 r^4 $$ i tak ułożyli równanie: $$ a_1 r^2 -a_1 r^4=\frac{32}{81} $$ Zastąpili liczbą $ 4 $ wyraz $a_1 $ i otrzymali: $$ \begin{gather} 4r^2-4r^4=\frac{32}{81} \cr 81r^2-81r^4=8 \end{gather} $$
Tomek następnie kontynuował w następujący sposób:
(1) Przkształcił ostatnie równanie na: $$ 81(r^2 )^2-81r^2+8=0 $$
(2) Następnie zredukował powyższe równanie do równania kwadratowego przy pomocy zmiennej $t=r^2$:
$$
81t^2-81t+8=0
$$
(3) Rozwiązał równanie kwadratowe, korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
$$
\begin{gather}
t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{(-81)^2-4 \cdot 81 \cdot 8}}{2 \cdot 81} \cr
t_{1,2}=\frac{81\pm \sqrt{81(81-32) }}{162} \cr
t_{1,2}=\frac{81\pm {63}}{162} \cr
t_1=\frac19,~ t_2=\frac89
\end{gather}
$$
(4) Na koniec obliczył sumy nieskończonego szeregu $(a_n )$: $$ S_1=\frac{4}{1-\frac19}=\frac92,~~S_2=\frac{4}{1-\frac89}=36 $$ Tomek doszedł do wniosku, że istnieją dwa nieskończone ciągi geometryczne o podanych własnościach, a ich sumy wynoszą: $$ S_1=\frac92,~S_2=36 $$ Anna postąpiła w następujący sposób:
(1) Przekształciła ostatnie równanie do postaci:
$$ (9r^2 )^2-9 \cdot (3r)^2+8=0 $$ (2) Następnie zastosowała podstawienie $$ u=3r $$ i zmieniła równanie na:
$$ u^4-9u^2+8=0 $$
(3) Rozwiązała powyższe równanie poprzez rozkład na czynniki:
$$
\begin{gather}
(u^2-1)(u^2-8)=0 \cr
u^2=1 \mathrm{~or~} u^2=8 \cr
u=\pm 1\mathrm{~or~} u=\pm \sqrt8
\end{gather}
$$
(4) Na koniec wyznaczyła iloraz $r$ ciągu:
$$ r=\frac13, ~~r=\frac{\sqrt8}3 $$
(5) Pozostało tylko obliczyć sumę nieskończonego szeregu: $$ \begin{gather} S_1=\frac{4}{1-\frac13}=6 \cr S_2=\frac{4}{1-\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3-\sqrt8}=12(3+\sqrt8)=36+24\sqrt2 \end{gather} $$ Anna doszła do wniosku, że istnieją dwa nieskończone ciągi geometryczne o podanych własnościach, a ich sumy wynoszą:
$$ S_1=6,~~S_2=36+24 \sqrt2 $$ Nauczyciel poprosił kolegów z klasy o skomentowanie rozwiązań. Który komentarz jest poprawny?
Anna uzyskała prawidłowy wynik.
Tomek ma poprawny wynik.
Rozwiązanie Anny nie jest kompletne. Brakuje dwóch wyników: $r=-\frac13$ i $r=-\frac{\sqrt8}3$, co oznacza, że istnieją jeszcze dwa inne nieskończone ciągi geometryczne o podanych własnościach. Ich sumy to: $$ S_3=\frac{4}{1+ \frac13}=3 $$ i $$ S_4=\frac{4}{1+\frac{\sqrt8}{3}}=\frac{12}{3+\sqrt8}=12(3-\sqrt8)=36-24\sqrt2 $$
Obaj popełnili błąd już na początku. $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n )$ o ilorazie $r$ jest określony wzorem $$ a_n=a_1 r^n $$ Dlatego powinni byli rozwiązać równanie: $$ a_1 r^3-a_1 r^5=\frac{32}{81} $$