$a_1$

Ania, Krysia i Ula miały rozwiązać następujące zadanie:

Suma pierwszych trzech wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi $14$, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi $\frac{27}{2}$ . Oblicz pierwszy wyraz $a_1$ tego ciągu.

Ania rozwiązała zadanie w ten sposób: $$ \begin{gather} a_1+a_1 q+a_1 q^2=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Następnie uwzględniła $a_1$ w pierwszym równaniu i wyodrębniła $a_1$ w drugim równaniu: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Na koniec w pierwszym równaniu podstawiła $\frac{27}{2} (1-q)$ zamiast $a_1$ i rozwiązała otrzymane równanie: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q)(1+q+q^2 )=14 \cr \frac{27}{2} (1+q^3 )=14 \cr 27(1+q^3 )=28 \cr q^3=\frac1{27} \cr q=\frac13 \end{gather} $$ A więc dostała: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1-\frac13\right)=9 $$

Krysia rozwiązała zadanie w następujący sposób: $$ \begin{gather} a_1 (1+q+q^2 )=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}2 \end{gather} $$ Następnie w pierwszym równaniu zapisała wyrażenie w nawiasie jako kwadrat sumy, a w drugim równaniu wyodrębniła $a_1$: $$ \begin{gather} a_1 (1+q)^2=14 \cr a_1=\frac{27}2 (1-q) \end{gather} $$ Na koniec w pierwszym równaniu podstawiła $\frac{27}2 (1-q)$ zamiast $a_1$ i rozwiązała otrzymane równanie: $$ \begin{gather} \frac{27}{2} (1-q) (1+q)^2=14 \cr 27(1-q^3 )=28 \cr -27q^3=1 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ A więc dostała: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

Ula zastosował wzory na sumę trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na sumę nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego: $$ \begin{gather} a_1 \frac{1-q^3}{1-q}=14 \cr \frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{2} \end{gather} $$ Następnie wyraziła $a_1$ z każdego równania: $$ \begin{gather} a_1= \frac{14(1-q)}{1-q^3} \cr a_1=\frac{27}{2} (1-q) \end{gather} $$ Porównując wyrażenia po prawej stronie, otrzymała: $$ \frac{14(1-q)}{1-q^3}=\frac{27}{2} (1-q)
$$

Na koniec wyeliminowała ułamki z powyższego równania, mnożąc obie strony przez $\frac{2(1-q^3 )}{1-q}$ i obliczyła $q$: $$ \begin{gather} 28=27-27q^3 \cr q=-\frac13 \end{gather} $$ Pozostało tylko obliczyć $a_1$: $$ a_1=\frac{27}{2} \left(1+\frac13 \right)=18 $$

Która z nich prawidłowo rozwiązała zadanie?