**Monika usunęła z tablicy liczbę $123{,}412$, która została ułożona z magnetycznych cyfr. Chce użyć tych cyfr do utworzenia liczby 4-cyfrowej. Ile różnych liczb czterocyfrowych może utworzyć z podanych cyfr magnetycznych?
Monika zauważyła, że niektóre cyfry się powtarzają. Nie podoba jej się to, ponieważ komplikuje to zadanie. Postanowiła jednak rozwiązać ten problem!
(1) Najpierw obliczyła liczbę 4-cyfrowych liczb, w których nie powtarzają się żadne cyfry. Takich liczb jest $4! = 24$.
(2) Następnie obliczyła liczbę liczb z dwiema jedynkami:
- Może umieścić dwie jedynki w liczbie 4-cyfrowej na sześć sposobów ($11xy$, $1x1y$, ...).
- Każde umieszczenie jedynki może być uzupełnione pozostałymi cyframi na $P(3,2) = 3! = 6$ sposobów.
- Całkowita liczba liczb 4-cyfrowych, które zawierają dokładnie $2$ jedynki wynosi $6\cdot 6 = 36$.
(3) Monika doszła do wniosku, że liczba liczb zawierających dokładnie dwie dwójki będzie taka sama jak liczba liczb zawierających dokładnie dwie jedynki, czyli $36$.
(4) Następnie Monika rozważyła liczby zawierające dwie jedynki i dwie dwójki. Według Moniki takich liczb jest $12$: $\frac{4!}{2!}=12$.
(5) Podsumowując, Monika stwierdziła, że może tworzyć liczby 4-cyfrowe używając cyfr magnetycznych tylko w sposób opisany w krokach od (1) do (4). Zatem może ona ułożyć $24 + 36 + 36 + 12 = 108$ różnych liczb używając magnetycznych cyfr.
Czy Monika popełniła błąd w swoich obliczeniach? Jeśli tak, określ, w którym kroku.
Mimo obaw Monice udało się rozwiązać problem bezbłędnie!
Monika popełniła pierwszy błąd w kroku (1). Liczba 4-cyfrowych liczb, w których nie powtarzają się żadne cyfry, wynosi w rzeczywistości $2 \cdot 4! = 48$. Zatem całkowita liczba różnych liczb, które można utworzyć z cyfr magnetycznych wynosi $48 + 36 + 36 + 12 = 132$.
Monika popełniła pierwszy błąd w kroku (2). Dwie jedynki można ułożyć w liczbie 4-cyfrowej na sześć różnych sposobów, ale możemy je uzupełnić pozostałymi cyframi na $P(4,2) = 12$ sposobów. Stąd liczba liczb 4-cyfrowych, które zawierają dokładnie $2$ jedynki wynosi $6 \cdot 12 = 72$. Zatem całkowita liczba różnych liczb, które można utworzyć, wynosi $24 + 72 + 72 + 12 = 180$.
Monika popełniła pierwszy błąd w kroku (4). Liczba liczb zawierających dwie jedynki i dwie dwójki jest w rzeczywistości połową tego, co obliczyła, czyli $\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$. W rezultacie całkowita liczba różnych liczb, które można utworzyć, wynosi $24 + 36 + 36 + 6 = 102$.