Eva otrzymała zadanie wyrażenia liczby zespolonej $1-\mathrm{i}$ w postaci trygonometrycznej.
Postąpiła w następujący sposób:
(1) Najpierw określiła moduł danej liczby zespolonej: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt2$$
(2) Pamiętała ze szkoły, że liczba zespolona w postaci trygonometrycznej ma moduł umieszczony przed nawiasem. Dlatego wzięła podaną liczbę i obliczyła z niej $\sqrt2$: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}\right)$$
(3) Następnie zracjonalizowała mianowniki i uzyskała liczbę zespoloną w postaci: $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt2}{2}\right)$$
(4) Na koniec zapisała wyrażenie w nawiasie za pomocą funkcji trygonometrycznych i stwierdziła, że jest to postać trygonometryczna podanej liczby zespolonej: $$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
W którym kroku rozwiązania Ewa popełniła błąd?
W kroku (1). Prawidłowe obliczenie wartości bezwzględnej powinno wyglądać następująco: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-\mathrm{i})^2}=0$$
W kroku (2). Prawidłowy wynik powinien być następujący:
$$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\mathrm{i}\right)$$
W kroku (3). Prawidłowy wynik powinien być następujący: $$\sqrt2(\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2)$$
W kroku (4). Podany wynik nie jest postacią trygonometryczną podanej liczby zespolonej.
Forma trygonometryczna musi zawierać sumę, a nie różnicę, tj. $$z = r \left(\cos\varphi +\sin\varphi \right)$$
Dlatego konieczne jest znalezienie argumentu $\varphi$, dla którego zachodzi następująca zależność: $$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}\ \wedge\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Rozwiązaniem jest zatem: $$\varphi=\frac{7\pi}{4}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$$
Na przykład wyrażenie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej to: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{4}\right)$$