Eva tenía que encontrar la forma trigonométrica del número complejo: $1-\mathrm{i}$.
Procedió de la siguiente manera:
(1) Primero ha calculado el módulo del número complejo dado: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt2$$
(2) Recordó de la escuela que un número complejo en forma trigonométrica tiene el módulo delante del paréntesis. Por lo tanto, ha factorizado $\sqrt2$ del número complejo: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}\right)$$
(3) Después, ha racionalizado los denominadores y ha obtenido un número complejo en forma de: $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt2}{2}\right)$$
(4) Finalmente, ha escrito la expresión entre paréntesis utilizando funciones trigonométricas y ha declarado que esta es la forma trigonométrica del número complejo dado: $$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
¿En qué paso de su solución ha cometido un error?
En el paso (1). El cálculo correcto del valor absoluto debería ser: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-\mathrm{i})^2}=0$$
En el paso (2). Lo correcto debería ser:
$$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\mathrm{i}\right)$$
En el paso (3). Lo correcto debería ser: $$\sqrt2(\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2)$$
En el paso (4). El resultado indicado no es la forma trigonométrica del número complejo dado.
La forma trigonométrica debe contener una suma, no una diferencia, es decir $$z = r \left(\cos\varphi +\sin\varphi \right)$$
Por lo tanto, es necesario encontrar un argumento $\varphi$ para el que se cumpla lo siguiente: $$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}\ \wedge\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt2}{2}$$
La solución es, por lo tanto: $$\varphi=\frac{7\pi}{4}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$$
Una expresión del número complejo en forma trigonométrica, por ejemplo, es: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{4}\right)$$