Eva dostala za úkol vyjádřit komplexní číslo $1-\mathrm{i}$ v goniometrickém tvaru.
Postupovala takto:
(1) Nejprve určila absolutní hodnotu zadaného komplexního čísla: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt2$$
(2) Pamatovala si ze školy, že komplexní číslo v goniometrickém tvaru má absolutní hodnotu vytklou před závorku. Vzala proto zadané číslo a vytkla z něho $\sqrt2$: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{\mathrm{i}}{\sqrt2}\right)$$
(3) Pak usměrnila zlomky a získala komplexní číslo ve tvaru: $$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt2}{2}\right)$$
(4) Nakonec zapsala výraz v závorce pomocí goniometrických funkcí a prohlásila, že toto je goniometrický tvar zadaného komplexního čísla: $$\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$$
Ve kterém kroku svého řešení udělala Eva chybu?
V kroku (1). Správný výpočet absolutní hodnoty by měl být: $$|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+(-\mathrm{i})^2}=0$$
V kroku (2). Správně by mělo být:
$$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}-\mathrm{i}\right)$$
V kroku (3). Správně by mělo být: $$\sqrt2(\sqrt2-\mathrm{i}\sqrt2)$$
V kroku (4). Uvedený výsledek není goniometrickým tvarem zadaného komplexního čísla.
Goniometrický tvar musí obsahovat součet, nikoliv rozdíl, tj. $$z = r \left(\cos\varphi +\sin\varphi \right)$$
Proto je třeba najít takový argument $\varphi$, pro nějž bude platit: $$\cos\varphi=\frac{\sqrt2}{2}\ \wedge\ \sin\varphi=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Řešením je tedy: $$\varphi=\frac{7\pi}{4}+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$$
Vyjádření zadaného komplexního čísla v goniometrickém tvaru je například: $$1-\mathrm{i}=\sqrt2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{4}\right)$$