$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $

Trzech uczniów rozwiązało nierówność: $$ 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 $$

Luke zauważył, że wyrażenie $(x+2)^2$ występuje po obu stronach, więc postanowił podzielić obie strony nierówności przez $(x+2)^2$. Zdał sobie sprawę, że dzielenie jest dopuszczalne tylko przez wyrażenie niezerowe. Postawił więc warunek, że $x\neq -2$. Doprowadziło to do uproszczenia nierówności: $$ 2(x+2)(x-3)\leq (x^2-4) $$ Następnie zredukował nierówność: $$\begin{gather} 2(x^2-x-6)-x^2+4\leq 0 \cr x^2-2x-8\leq 0 \cr x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1} \cr x_1=4,~x_2=-2 \end{gather} $$

Wiedział, że wykres funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-2x-8$ jest parabolą, która ma ramiona skierowane w górę (ze względu na dodatni współczynnik członu kwadratowego) o miejscach zerowychi $x$ równych $-2$ i $4$. Z tej informacji oraz warunku $x\neq -2$, wywnioskował, że nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych w przedziale : $$ x \in (-2;4 \rangle $$

Adam rozwiązał nierówność w następujący sposób: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \end{gather} $$ Podzielił obie strony nierówności przez $(x+2)^3$, a także ustalił warunek, że $x\neq -2$: $$ \begin{gather} 2(x-3)\leq x-2 \cr x\leq 4 \end{gather} $$ Adam twierdzi, że zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych w przedziale: $$ x \in (-\infty ;-2) \cup (-2;4 \rangle $$

Eva podeszła do nierówności inaczej: $$ \begin{gather} 2(x+2)^3(x-3)\leq (x^2-4)(x+2)^2 \cr 2(x+2)^3(x-3)\leq (x-2)(x+2)(x+2)^2 \cr (x+2)^3(2(x-3)-(x-2))\leq 0 \cr (x+2)^3(x-4)\leq 0 \end{gather} $$ Zauważyła, że wyrażenie po lewej stronie staje się zerowe, gdy $x=-2$ i $x=4$ oraz, że wyrażenie jest ujemne, gdy $x>-2$ i $x<4$. Wywnioskowała, że nierówność jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy: $$ x\in \langle -2;4 \rangle $$ Który uczeń poprawnie rozwiązał nierówność?