Helena rozwiązała równanie $$ \sqrt{x+7} =\sqrt{2x}+1,~x \in \mathbb{R} $$ w następujący sposób.
(1) Podniosła do kwadratu obie strony równania, aby pozbyć się pierwiastka:
\begin{aligned} (\sqrt{x+7})^2 &=(\sqrt{2x}+1)^2 \cr x+7&=2x+2\sqrt{2x}+1\cr -x+6&= 2\sqrt{2x} \end{aligned}
(2) Po uproszczeniu otrzymała równanie, które nadal ma pierwiastek kwadratowy, więc ponownie podniosła do kwadratu obie strony równania: $$ \begin{aligned} (-x+6)^2&=(2\sqrt{2x})^2 \cr x^2-12x+36&=8x \cr x^2-20x+36&=0 \end{aligned}$$
(3) Ostatecznie Helena otrzymała równanie kwadratowe, które rozwiązała za pomocą wzoru kwadratowego: $$ x_{1,2}=\frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4 \cdot 1 \cdot 36}}{2}=\frac{20\pm \sqrt{256}}{2}=\frac{20\pm 16}{2} $$ Rozwiązaniami podanego równania wyjściowego są: $$ x_1=18, x_2=2 $$ Czy znajdujesz błędy w jej rozwiązaniu, czy też jest ono całkowicie poprawne?
Helena nie postąpiła prawidłowo. Zapomniała sprawdzić każde rozwiązanie wyjściowego równania. Sprawdzenie jest konieczne, ponieważ rozwiązania nowego równania otrzymane przez podniesienie do kwadratu mogą nie być poprawnymi rozwiązaniami wyjściowego równania.
Rozwiązanie Heleny jest jak najbardziej poprawne.
Helena popełniła błędy w krokach (1) i (2). Niedozwolone jest podnoszenie obu stron równania do kwadratu.
Popełniła błąd w kroku (1) przy podnoszeniu do kwadratu $\sqrt{2x}+1$. Powinno być: $(\sqrt{2x}+1)^2=2x+1$.
Wzór kwadratowy użyty w kroku (3) jest nieprawidłowy. Prawidłowy wzór to: $$ x_{1,2}=\frac{-20\pm \sqrt{(-20)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2} $$
Sprawdzenie dla $x=18$: $$ L=\sqrt{18+7}=\sqrt{25}=5,~P=\sqrt{2 \cdot 18}+1=\sqrt{36}+1=6+1=7⇒L\neq P $$ Sprawdzenie dla $x=2$: $$ L=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3,~P=\sqrt{2\cdot 2}+1=\sqrt{4}+1=2+1=3⇒L=P $$ Sprawdzenie pokazuje, że wyjściowe równanie ma tylko jedno rozwiązanie, $x=2$.