Helena vyriešila rovnicu $$ \sqrt{x+7} =\sqrt{2x}+1,~x \in \mathbb{R} $$ nasledujúcim spôsobom.
(1) Obe strany rovnice umocnila, aby sa zbavila odmocnín: $$ \begin{aligned} (\sqrt{x+7})^2 &=(\sqrt{2x}+1)^2 \cr x+7&=2x+2\sqrt{2x}+1\cr -x+6&= 2\sqrt{2x} \end{aligned}$$
(2) Po zjednodušení dostala rovnicu, ktorá stále obsahuje odmocninu, preto obe strany rovnice opäť umocnila: $$ \begin{aligned} (-x+6)^2&=(2\sqrt{2x})^2 \cr x^2-12x+36&=8x \cr x^2-20x+36&=0 \end{aligned}$$
(3) Nakoniec Helena dostala kvadratickú rovnicu, ktorú vyriešila pomocou vzorca: $$ x_{1,2}=\frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4 \cdot 1 \cdot 36}}{2}=\frac{20\pm \sqrt{256}}{2}=\frac{20\pm 16}{2} $$ Riešenia danej iracionálnej rovnice sú: $$ x_1=18, x_2=2 $$ Nájdete v jej riešení chyby alebo je jej riešenie úplne v poriadku?
Helena nepostupovala správne. Zabudla urobiť skúšku pre oba korene. Skúša je potrebná, pretože riešenia novej rovnice získané odmocnením nemusia byť platnými riešeniami pôvodnej rovnice.
Helenino riešenie je úplne v poriadku.
Helena urobila chyby v krokoch (1) a (2). Nie je dovolené umocňovať obe strany rovnice.
Chybu urobila v kroku (1) pri umocnení výrazu $\sqrt{2x}+1$. Malo to byť: $(\sqrt{2x}+1)^2=2x+1$.
Vzorec pre výpočet kvadratickej rovnice v kroku (3) je nesprávny. Správny vzorec je: $$ x_{1,2}=\frac{-20\pm \sqrt{(−20)^2−4\cdot 1 \cdot 36}}{2} $$
Skúška pre $x=18$: $$ L=\sqrt{18+7}=\sqrt{25}=5,~P=\sqrt{2 \cdot 18}+1=\sqrt{36}+1=6+1=7⇒L\neq P $$ Skúška pre $x=2$: $$ L=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3,~P=\sqrt{2\cdot 2}+1=\sqrt{4}+1=2+1=3⇒L=P $$ Skúška ukazuje, že pôvodná rovnica má len jedno riešenie $x=2$.