Helena solucionó la ecuación $$ \sqrt{x+7} =\sqrt{2x}+1,~x \in \mathbb{R} $$ así:
(1) Elevó al cuadrado ambos lados de la ecuación para eliminar el radical: $$ \begin{aligned} (\sqrt{x+7})^2 &=(\sqrt{2x}+1)^2 \cr x+7&=2x+2\sqrt{2x}+1\cr -x+6&= 2\sqrt{2x} \end{aligned}$$
(2) Después de simplificar, obtuvo una ecuación que seguía teniendo raíz cuadrada, así que volvió a elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación: $$ \begin{aligned} (-x+6)^2&=(2\sqrt{2x})^2 \cr x^2-12x+36&=8x \cr x^2-20x+36&=0 \end{aligned}$$
(3) Por último, Helena obtuvo una ecuación cuadrática, que solucionó mediante la fórmula cuadrática: $$ x_{1,2}=\frac{20\pm \sqrt{(-20)^2-4 \cdot 1 \cdot 36}}{2}=\frac{20\pm \sqrt{256}}{2}=\frac{20\pm 16}{2} $$ Las soluciones de la ecuación radical dada son: $$ x_1=18, x_2=2 $$ ¿Hay algún error en su solución o está todo correcto?
Helena no procedió correctamente. Olvidó comprobar cada una de las soluciones en la ecuación original. La comprobación es necesaria porque las soluciones de la nueva ecuación obtenidas elevando al cuadrado pueden no ser soluciones válidas de la ecuación original.
La solución de Helena está perfectamente bien.
Helena cometió errores en los pasos (1) y (2). No se puede elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Cometió un error en el paso (1) al elevar al cuadrado $\sqrt{2x}+1$. Debería haber sido: $(\sqrt{2x}+1)^2=2x+1$.
La fórmula cuadrática utilizada en el paso (3) es incorrecta. La fórmula correcta es: $$ x_{1,2}=\frac{-20\pm \sqrt{(−20)^2−4\cdot 1 \cdot 36}}{2} $$
La comprobación para $x=18$: $$ I=\sqrt{18+7}=\sqrt{25}=5,~D=\sqrt{2 \cdot 18}+1=\sqrt{36}+1=6+1=7⇒I\neq D $$ La comprobación para $x=2$: $$ I=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3,~D=\sqrt{2\cdot 2}+1=\sqrt{4}+1=2+1=3⇒I=D $$ La comprobación muestra que la ecuación original sólo tiene una solución, $x=2$.