Dariusz, Ryszard i Libor rozwiązali równanie z wartością bezwzględną: $$ |x| = x -1. $$ Każdy z nich rozwiązał równanie na swój sposób:
Dariusz pamiętał, że z równania $|x|=9$ wynika $x=9$ lub $x=-9$, więc postanowił postępować analogicznie: $$ x=x-1 \mathrm{~lub~} x=-(x-1). $$ Rozwiązał oba równania w głowie i odkrył, że pierwsze równanie nie ma rozwiązania ($0\neq-1$), a drugie równanie ma rozwiązanie $x=\frac12$. Następnie Darius sprawdził, że $x=\frac12$ nie spełnia oryginalnego równania. Doszedł do wniosku, że dane równanie nie ma rozwiązania.
Ryszard przypomniał sobie, że $|x|^2=x^2$, więc postanowił wyeliminować wartość bezwzględną poprzez podniesienie obu stron równania do kwadratu: $$ (|x|)^2=(x-1)^2. $$ Następnie postąpił w następujący sposób: $$ \begin{align} x^2=x^2-2x+1 \cr 2x=1 \cr x=\frac12 . \end{align} $$ Ryszard również doszedł do rozwiązania $x=\frac12$. Sprawdził, że podane równanie nie ma rozwiązania.
Libor postępował zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, tj. dla dowolnej liczby rzeczywistej: $$ |x|=x \mathrm{~jeśli~} x\geq 0 \mathrm{~i~} |x|=-x \mathrm{~jeśli~} x<0. $$ W pierwszym przypadku, dla $x\geq 0$, otrzymał równanie: $$ x=x-1\mathrm{~(brak~rozwiązania)} $$ W drugim przypadku, dla $x<0$, otrzymał równanie $-x=x-1$, czyli, $$ \begin{align} x=-(x-1) \cr x=\frac12. \cr \end{align} $$ Po sprawdzeniu stwierdził, że podane równanie nie ma rozwiązania.
Czy któreś z rozwiązań przedstawionych przez uczniów jest błędne?
Nie, wszystkie rozwiązania są poprawne.
Tak, rozwiązanie Ryszarda jest błędne. Powinno być $|x|^2=\pm x^2$.
Tak, rozwiązanie Dariusza jest błędne. Możemy użyć tego rozumowania tylko wtedy, gdy po prawej stronie równania znajduje się liczba.
Tak, rozwiązanie Libora jest błędne. Powinien był rozwiązać równanie dla $x \in (-\infty;1)$ i dla $x \in \langle 1;+\infty)$.