Paweł rozwiązał równanie $$ \frac{2x^2-1}{x}=\frac{4x^2-1}{x}+6 $$ w następujących krokach:
(1) Uprościł ułamki, dzieląc zarówno licznik, jak i mianownik przez $x$: $$ 2x−1=4x−1+6 $$
(2) Przeniósł wszystkie zmienne na lewą stronę równania, a wszystkie stałe na prawą stronę. Następnie, po każdej stronie równania, połączył podobne wyrażenia : $$\begin{aligned} 2x−4x&=−1+6+1 \cr −2x&=6 \end{aligned}$$
(3) Podzielił równanie przez $-2$ aby otrzymać rozwiązanie : $$\begin{aligned} \frac{−2x}{−2}&=\frac{6}{−2}\cr x&=−3 \end{aligned}$$
(4) Na koniec sprawdził rozwiązanie równania: $$\begin{aligned} L &= \frac{2(−3)^2−1}{−3}=\frac{2 \cdot 9−1}{−3}=\frac{18−1}{−3}=−\frac{17}{3} \cr P&=\frac{4(−3)^2−1}{−3}+6=\frac{4 \cdot 9−1}{−3}+6=\frac{36−1}{−3} +6=\frac{−35}{3}+\frac{18}{3}=−\frac{17}{3} \end{aligned}$$
Jego koledzy z klasy: Jan, Erica, Piotr i Barbara skomentowali jego rozwiązanie. Które z nich poprawnie skomentowało rozwiązanie Pawła?
Jan twierdzi, że rozwiązanie Pawła jest nieprawidłowe i że Paweł popełnił błąd w kroku (1).
Erica twierdzi, że Paweł popełnił błąd w kroku (3). Ujemny znak po obu stronach równania prowadzi do dodatniego rozwiązania, czyli $x=3$.
Piotr twierdzi, że Paweł popełnił błąd w kroku (2). Powinien otrzymać równanie $2x=6$.
Barbara uważa, że rozwiązanie Pawła jest prawidłowe.
Z układu równań wynika, że $x$ nie może być równe zero. Przy takim założeniu możemy pomnożyć obie strony równania przez niewiadomą $x$ (nie zapominamy o pomnożeniu członu stałego $6$) i kolejno otrzymujemy: $$\begin{aligned} \frac{2x^2-1}{x}&=\frac{4x^2-1}{x}+6 \cr 2x^2-1&=4x^2-1+6x \cr 2x^2+6x&=0 \cr 2x(x+3)&=0 \end{aligned}$$ Iloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero, tzn., $x=0$ lub $x=−3$. Ponieważ $x$ nie może być równe zero (w przeciwnym razie ułamek nie byłby zdefiniowany), pozostaje tylko jedno rozwiązanie, a mianowicie $x=−3$.