Pablo solucionó la ecuación $$ \frac{2x^2-1}{x}=\frac{4x^2-1}{x}+6 $$ así:
(1) Simplificó las fracciones dividiendo tanto el numerador como el denominador por $x$: $$ 2x−1=4x−1+6 $$
(2) Trasladó todos los términos lineales al lado izquierdo de la ecuación y todas las constantes al lado derecho. Luego, en cada lado de la ecuación, combinó términos semejantes: $$\begin{aligned} 2x−4x&=−1+6+1 \cr −2x&=6 \end{aligned}$$
(3) Dividió la ecuación por $-2$ para obtener la solución: $$\begin{aligned} \frac{−2x}{−2}&=\frac{6}{−2}\cr x&=−3 \end{aligned}$$
(4) Por último, comprobó la solución de la ecuación: $$\begin{aligned} I &= \frac{2(−3)^2−1}{−3}=\frac{2 \cdot 9−1}{−3}=\frac{18−1}{−3}=−\frac{17}{3} \cr D &=\frac{4(−3)^2−1}{−3}+6=\frac{4 \cdot 9−1}{−3}+6=\frac{36−1}{−3} +6=\frac{−35}{3}+\frac{18}{3}=−\frac{17}{3} \end{aligned}$$
Sus compañeros de clase Juan, Erica, Pedro y Barbara están comentando su solución. ¿Cuál de ellos la comenta correctamente?
Juan dice que la solución de Pablo es incorrecta y que Pablo cometió un error en el paso (1).
Erica afirma que Pablo cometió un error en el paso (3). El signo negativo a ambos lados de la ecuación conduce a una solución positiva, en concreto $x=3$.
Pedro afirma que Pablo cometió un error en el paso (2). Debería haber obtenido una ecuación $2x=6$.
Barbara cree que la solución de Pablo es correcta. Después de todo, la comprobación salió correctamente.
Desde el enunciado de la ecuación se deduce que $x$ no puede ser igual a cero. Así, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por la incógnita $x$ (no nos olvidamos de multiplicar el término constante $6$) y luego obtener: $$\begin{aligned} \frac{2x^2-1}{x}&=\frac{4x^2-1}{x}+6 \cr 2x^2-1&=4x^2-1+6x \cr 2x^2+6x&=0 \cr 2x(x+3)&=0 \end{aligned}$$ Un producto de factores es cero si y sólo si uno o más factores son cero, es decir, $x=0$ o $x=-3$. Como $x$ no debe ser igual a cero (de lo contrario, la fracción no estaría definida), sólo queda una solución, que es $x=-3$.