Pavel řešil rovnici $$ \frac{2x^2-1}{x}=\frac{4x^2-1}{x}+6 $$ následujícím způsobem:
(1) Zjednodušil zlomky tak, že vydělil jejich čitatele i jmenovatele výrazem $x$: $$ 2x−1=4x−1+6 $$
(2) Převedl všechny výrazy s proměnnými na levou stranu rovnice a všechny konstanty na její pravou stranu. Pak provedl na každé straně rovnice tyto úpravy: $$\begin{aligned} 2x−4x&=−1+6+1 \cr −2x&=6 \end{aligned}$$
(3) Vydělil celou rovnici číslem $-2$ a získal řešení: $$\begin{aligned} \frac{−2x}{−2}&=\frac{6}{−2}\cr x&=−3 \end{aligned}$$
(4) Na závěr provedl zkoušku: $$\begin{aligned} L &= \frac{2(−3)^2−1}{−3}=\frac{2 \cdot 9−1}{−3}=\frac{18−1}{−3}=−\frac{17}{3} \cr P&=\frac{4(−3)^2−1}{−3}+6=\frac{4 \cdot 9−1}{−3}+6=\frac{36−1}{−3} +6=\frac{−35}{3}+\frac{18}{3}=−\frac{17}{3} \end{aligned}$$
Spolužáci Jan, Erika, Petr a Barbara komentovali Pavlovo řešení. Kdo z nich to udělal správně?
Jan řekl, že Pavlovo řešení není správné. Udělal chybu v kroku (1).
Erika prohlásila, že Pavel udělal chybu v kroku (3). Záporné znaménko na obou stanch rovnice dá kladné řešení $x=3$.
Petr viděl Pavlovu chybu v kroku (2). Podle něj měl získat rovnici $2x=6$.
Barbara vyjádřila přesvědčení, že Pavlovo řešení je správné, vždyť vyšla i zkouška.
Ze zadání rovnice vyplývá, že $x$ nesmí být rovno nule.. Za tohoto předpokladu můžeme obě strany rovnice násobit neznámou $x$ (nesmíme zapomenout vynásobit i konstantu $6$) a postupně dostaneme: $$\begin{aligned} \frac{2x^2-1}{x}&=\frac{4x^2-1}{x}+6 \cr 2x^2-1&=4x^2-1+6x \cr 2x^2+6x&=0 \cr 2x(x+3)&=0 \end{aligned}$$ Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden činitel nula, tedy $x=0$ nebo $x=−3$. Protože $x$ nesmí být rovno nule (jinak by zlomek nebyl definován), je jediným řešením $x=−3$.