Rysunek przedstawia czarną prostą z czerwonym odcinkiem $AB$. Odcinek ten przedstawia wykres pewnej funkcji $f$ o dziedzinie $\langle 1{,}2; 3{,}2\rangle $. Znajdź przedział funkcji $f$.
Zadaniem Milana i Petera było rozwiązanie tego zadania. Najpierw próbowali znaleźć równanie funkcji liniowej $y = ax+ b$, której wykresem jest czarna prosta przedstawiona powyżej. Każdy z nich zastosował inne podejście.
Peter uzyskał wartość współczynnika $b = 0{,}2$ z wykresu. Następnie, podstawiając $y = 0$ i $x=-0{,}8$ do równania prostej $y = ax+ b$, wykonał następujące obliczenia: $$ \begin{gather} 0 = -0{,}8a + 0{,}2 \cr a = 0{,}25 \end{gather} $$ Stwierdził on, że poszukiwana funkcja liniowa odpowiadająca czarnej linii ma równanie: $$ y = 0{,}25x+ 0{,}2 $$
Milan był przekonany, że jeśli znamy punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, możemy natychmiast zapisać równanie prostej w postaci punktu przecięcia: $$ \frac{x}{- \frac45}+ \frac{y}{\frac15}= 1 $$ Na podstawie tego równania Milan wyraził $y$ w następujących krokach: $$ \begin{gather} \frac{5x}{-4} + \frac{5y}{1} = 1 \cr 5x- 20y = -4 \cr -20y = -4 - 5x \cr y = \frac15 + \frac{x}{4} \end{gather} $$ Peter i Milan byli zadowoleni, że doszli do tego samego równania dla czarnej linii i zgodzili się na wspólne rozwiązanie reszty zadania.
Najpierw postanowili wyznaczyć współrzędne punktu $A$. Ponieważ znali współrzędną $x$ tego punktu z domeny, obliczyli odpowiadającą jej współrzędną $y$, podstawiając ją do otrzymanego równania w następujący sposób: $$ \begin{gather} y = \frac15 + \frac{x}{4} = \frac15 + \frac{1{,}2}{4} = \frac15 + 0{,}3 = 0{,}5 \cr A= [1{,}2; 0{,}5] \end{gather} $$ Następnie, używając tego samego podejścia, znaleźli również współrzędne punktu $B$: $$ \begin{gather} y = \frac15 + \frac{x}{4} = \frac15 + \frac{3{,}2}{4} = \frac15 + \frac45 = 1 \cr B= [3{,}2; 1] \end{gather} $$ Ostatecznie obaj doszli do wniosku, że zakresem funkcji $f$, której wykresem jest odcinek zaznaczony na rysunku na czerwono, jest $\langle 0{,}5; 1\rangle$.
Czy Milan lub Peter popełnili błąd?
Nie. Obaj postąpili prawidłowo zarówno w swoich indywidualnych obliczeniach, jak i we wspólnych obliczeniach.
Tak. Każdy z nich ma inną funkcję odpowiadającą czarnej linii.
Tak. Popełnili błąd w części wspólnej. Funkcja liniowa odpowiadająca czarnej linii powinna mieć równanie $y = ax$.
Tak. Milan popełnił błąd. Jego procedura jest nieprawidłowa, ale przez przypadek uzyskał prawidłowe rozwiązanie.
Tak. Obaj uczniowie postępowali nieprawidłowo od samego początku. Podane dane nie są wystarczające do znalezienia zakresu funkcji.
