La imagen muestra una recta negra con un segmento de recta rojo $AB$ sobre ella. Este segmento representa la gráfica de una cierta función $f$ con el dominio $[ 1.2; 3.2] $. Hallar el rango de la función $f$.
Milan y Peter tenían que resolver el problema. Primero intentaron hallar la ecuación de una función lineal $y = ax+ b$, cuya gráfica es la recta negra de la imagen de arriba. Cada uno de ellos utilizó un método diferente.
Peter obtuvo el valor del coeficiente $b = 0.2$ a partir de la gráfica. A continuación, sustituyendo $y = 0$ and $x=-0.8$ en la ecuación en forma de pendiente-intersección de una recta $y = ax+ b$, procedió al siguiente cálculo: $$ \begin{gather} 0 = -0.8a + 0.2 \cr a = 0.25 \end{gather} $$ Afirmó, que la función lineal buscada correspondiente a la línea negra tenía la ecuación: $$ y = 0.25x+ 0.2 $$
Milan estaba convencido de que si conocemos los interceptos de una recta con los ejes de coordenadas, podemos escribir inmediatamente la ecuación de la recta en forma de intercepto: $$ \frac{x}{- \frac45}+ \frac{y}{\frac15}= 1 $$ A partir de esta ecuación, Milan expresó $y$ en los siguientes pasos: $$ \begin{gather} \frac{5x}{-4} + \frac{5y}{1} = 1 \cr 5x- 20y = -4 \cr -20y = -4 - 5x \cr y = \frac15 + \frac{x}{4} \end{gather} $$ Peter y Milan se alegraron de llegar a la misma ecuación para la línea negra y acordaron resolver juntos el resto del problema.
En primer lugar, decidieron determinar las coordenadas del punto $A$. Como conocían la coordenada $x$ de este punto a partir del dominio, calcularon la coordenada $y$ correspondiente sustituyéndola en la ecuación obtenida de la siguiente manera: $$ \begin{gather} y = \frac15 + \frac{x}{4} = \frac15 + \frac{1.2}{4} = \frac15 + 0.3 = 0.5 \cr A= [1.2; 0.5] \end{gather} $$ A continuación, utilizando el mismo método, hallaron también las coordenadas del punto $B$ : $$ \begin{gather} y = \frac15 + \frac{x}{4} = \frac15 + \frac{3.2}{4} = \frac15 + \frac45 = 1 \cr B= [3.2; 1] \end{gather} $$ Finalmente, ambos concluyeron que el rango de la función $f$, cuya gráfica es el segmento de recta marcado en rojo en la imagen, sería $[ 0.5; 1]$.
¿Se equivocaron Milan o Peter?
No. Ambos procedieron correctamente tanto en sus cálculos individuales como en los comunes.
Sí. Cada uno tiene una función diferente que corresponde a la línea negra.
Sí, cometieron un error en la parte común. La función lineal correspondiente a la línea negra debería tener la ecuación $y = ax$.
Sí. Milan cometió un error. Su procedimiento es incorrecto, pero por casualidad obtuvo la solución correcta.
Sí. Ambos alumnos procedieron incorrectamente desde el principio. Los datos dados no son suficientes para hallar el rango de la función.
