W ramach egzaminu końcowego z matematyki Peter miał rozwiązać trzy proste równania wykładnicze i logarytmiczne:
Zadanie 1: $7^{2x}=7^x$
Zadanie 2: $\log_3 x=0 $
Zadanie 3: $7^x=0$
Przyjrzyj się uważnie jego rozwiązaniom.
1) Aby rozwiązać równanie: $$ 7^{2x}=7^x $$
Po pierwsze, anulował bazy: $$ 2x=x $$
Następnie podzielił otrzymane równanie przez $x$ i otrzymał: $$ 2=1 $$
Stwierdził więc, że dane równanie nie ma rozwiązania.
2) Aby rozwiązać równanie: $$ \log_3 x=0 $$
Zastosował zasadę $\log_z x=y \Leftrightarrow x=z^y$ i uzyskał: $$ \begin{aligned} x&=3^0 \cr x&=1 \end{aligned} $$
3) Petr spojrzał na trzecie równanie: $$ 7^x=0 $$ Stwierdził, że nie ma rozwiązania i uzasadniał to stwierdzeniem, że wyrażenie $7^x$ jest dodatnia dla wszystkich rzeczywistych $x$.
Czy Peter popełnił jakieś błędy w swoich rozwiązaniach? Jeśli tak, określ gdzie.
Yes. Popełnił błąd tylko w zadaniu 1.
Tak. Popełnił błąd tylko w zadaniu 2.
Tak. Popełnił błąd tylko w zadaniu 3.
Tak. Popełnił błąd w więcej niż jednym zadaniu.
Nie. Nie popełnił błędu.
Peter popełnił błąd w zadaniu 1. Otrzymane równanie $2x=x$ jest prawidłowa. Nie można go jednak podzielić przez $x$ ponieważ nie wiemy, czy $x$ jest niezerowa. Równanie $2x=x$ należy rozwiązać w następujący sposób. Odejmując $x$ z obu stron równania otrzymujemy: $$2x -x=x-x$$ A następnie $$x=0$$
która jest (jedynym) rozwiązaniem danego równania.