Piotr i Paweł mieli do rozwiązania następujące zadanie:
Ciąg $(a_n )$ jest zdefiniowany rekurencyjnie poprzez: $$ \begin{align} a_1&=2 \cr a_n&=3(n-1)-a_{n-1}+3,~n\geq 2 \end{align} $$
Znajdź liczby całkowite $x$, $y$ takie, że $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego oraz $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y $ to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego.
Obaj obliczyli następujące sześć wyrazów ciągu: $$ \begin{align} a_2&=3-a_1+3=4 \cr a_3&=6-a_2+3=5\cr a_4&=9-a_3+3=7\cr a_5&=12-a_4+3=8\cr a_6&=15-a_5+3=10\cr a_7&=18-a_6+3=11 \end{align} $$ Piotr kontynuował w ten sposób: Jeśli $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to różnica pomiędzy dowolnymi dwoma kolejnymi wyrazami jest zawsze taka sama, a jeśli $ a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, wówczas wyraz środkowy można obliczyć na podstawie dwóch zewnętrznych wyrazów: $$ \begin{align} (4+x)-11&=(7+2y)-(4+x)\cr (4x-4)^2&=2(30-y) \end{align} $$ Wyraził $x$ z pierwszego równania: $$ \begin{align} 2x&=10+2y \cr x&=5+y \end{align} $$ i podstawił to do drugiego równania: $$ \begin{align} (4 y+16)^2&=60-2 y \cr 16 y^2+130 y+196&=0 \cr 8 y^2+65 y+98&=0 \end{align} $$ Na koniec rozwiązał otrzymane równanie kwadratowe: $$ \begin{align} y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{65^2-4 \cdot 8 \cdot 98}}{16} \cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{4225-3136}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr y_{1,2}&=\frac{-65 \pm 33}{16}\cr y_1&=-2,y_2=-\frac{49}{8} \end{align} $$ Teraz pozostało tylko obliczyć $x$: $$ x_1=3,~x_2=-\frac98 $$ Otrzymał w ten sposób dwa rozwiązania: $x_1=3$, $y_1=-2$ i $x_2=-\frac98$, $y_2=-\frac{49}{8}$.
Paweł rozumował w ten sposób: Jeśli $a_7$, $a_2+x$, $a_4+2y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną dwóch zewnętrznych wyrazów, a jeśli $a_1$, $4x-a_2$, $3a_6-y$ to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, wówczas iloraz wspólny jest taki sam dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów: $$ \begin{align} 4+x&=\frac12 (11+(7+2y)) \cr \frac{4x-4}2&=\frac{30-y}{4x-4} \end{align} $$
Wyraził $y$ z drugiego równania: $$ \begin{align} (4x-4)^2&=60-2y \cr 16x^2-32x+16&=60-2y \cr y&=-8x^2+16x+22 \end{align} $$ i podstawił to do pierwszego równania i otrzymał: $$ \begin{align} 8+2x&=11+7-16x^2+32x+44 \cr 16x^2-30x-54&=0 \cr 8x^2-15x-27&=0 \end{align} $$ Następnie rozwiązał powyższe równanie: $$ \begin{align} x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225-4 \cdot 8 \cdot (-27) }}{16} \cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{225+864}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm \sqrt{1089}}{16}\cr x_{1,2}&=\frac{-15 \pm 33}{16}\cr x_1&=-3,~x_2= \frac98 \end{align} $$
Na koniec ustalił pozostałą niewiadomą $y$: $$ \begin{align} y_1&=-8 \cdot 9-48+22=-98 \cr y_2&=-8 \cdot \frac{81}{64}+16 \cdot \frac{9}{8}+22=\frac{239}{8} \end{align} $$
Dla niego zadanie ma jedno rozwiązanie, a mianowicie $x=-3$ i $y=-98$.
Który z nich poprawnie rozwiązał zadanie?
Żaden z nich.
Paweł
Piotr
Pawł i Piotr. Obydwa rozwiązania są możliwe.
Rozwiązanie Piotra byłoby w porządku, gdyby wykluczył drugie rozwiązanie: $$ x_2=-\frac{9}{8},y_2=-\frac{49}{8} $$ Szukaliśmy liczb całkowitych $x$ i $y$!