Marek, Jan i Lucyna rozwiązali następujące zadanie:
Suma pierwszych pięciu wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równa $10$. Wyrazy $a_3$, $a_5$ i $a_{13}$ w podanej kolejności tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znaleźć wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$.
Wszyscy oni użyli wzoru na sumę pierwszych pięciu wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ o różnicy $d$ i otrzymali: $$ \begin{gather} \frac{a_1+a_1+4d}{2}\cdot 5=10 \cr a_1+2d=2 \end{gather} $$
Następnie każdy z nich postępował w inny sposób.
Marek rozumował, że jeśli $a_3$, $a_5$ i $a_{13}$ w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to $$ a_1+4d=\frac{a_1+12d}{a_1+2d} $$ Podstawił $2$ za $a_1+2d$ i obliczył różnicę d ciągu $(a_n)$: $$ \begin{gather} 2+2d=\frac{2+10d}{2} \cr d=\frac13 \end{gather} $$ Na koniec obliczył $a_1$ i znalazł wzór na $n$-ty wyraz ciągu $(a_n)$: $$ \begin{gather} a_1=2-2d=\frac43 \cr a_n=\frac43+(n-1)\frac13 \cr a_n=1+\frac{n}3 \end{gather} $$
Jan rozumował w ten sposób: Jeśli $a_3$, $a_5$ i $a_{13}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to $$ \frac{a_1+4d}{a_1+2d}=\frac{a_1+12d}{a_1+4d} $$
Podstawił $2$ za $a_1+2d$ i otrzymał: $$ \frac{2+2d}{2}=\frac{2+10d}{2+2d} $$
Następnie wyeliminował ułamek z ostatniego równania i obliczył różnicę: $$ \begin{gather} 4+8d+4d^2=4+20d \cr 4d(d-3)=0 \cr d=0,~d=3 \end{gather} $$
Ostatnią rzeczą, jaką musiał zrobić, było wyznaczenie $a_1$ i wzoru na $a_n$.
Dla $d=0$ otrzymał: $$ a_1=2,~a_n=2 $$ Dla $d=3$ otrzymał $$ a_1=-4 $$ $$ a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n $$
Według niego istnieją dwa ciągi arytmetyczne o podanej własności.
Lucyna pamiętała, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ musi zachodzić: $$ (a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+12d) $$ Usunęła nawiasy po obu stronach i uprościła równanie: $$ \begin{gather} a_1^2+8a_1 d+16d^2= a_1^2+14a_1 d+24d^2 \cr 6a_1 d+8d^2=0 \cr d(6a_1+8d)=0 \end{gather} $$ Następnie doszła do wniosku, że jeśli ostatnie równanie ma mieć zastosowanie, to $d=0$ lub $a_1=-\frac43 d$.
Dla $a_1=-\frac43 d$ otrzymała $$ \begin{gather} -\frac43 d+2d=2 \cr d=3\end{gather} $$ Stąd $$a_1=-4$$ i $$a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n$$.
Dla $d=0$ otrzymała $$a_1=2,~a_n=2$$.
Lucyna doszła do wniosku, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne o podanej własności.
Który z nich poprawnie rozwiązał przykład?
Żaden z nich.
Marek
Jan i Lucyna
Jan i Lucyna rozwiązaliby ten przykład poprawnie, gdyby wykluczyli rozwiązanie $d=0$. W takim przypadku ciąg $(a_n)$ byłby stały, co jest sprzeczne z założeniem.