Marek, Jan y Lucie resolvieron la siguiente tarea:
La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética creciente $(a_n)$ es igual a $10$. Los términos $a_3$, $a_5$ y $a_{13}$, en este orden, forman tres términos consecutivos de una progresión geométrica. Halla la fórmula del término general de la progresión $(a_n)$.
Todos ellos usaron la fórmula para la suma de los primeros cinco términos de una progresión aritmética $(a_n)$ con la diferencia común $d$ y obtuvieron: $$ \begin{gather} \frac{a_1+a_1+4d}{2}\cdot 5=10 \cr a_1+2d=2 \end{gather} $$
Después, cada uno procedió de distinta forma.
Marek razonó que si $a_3$, $a_5$ y $a_{13}$, en este orden, son tres términos consecutivos de una progresión geométrica, entonces $$ a_1+4d=\frac{a_1+12d}{a_1+2d} $$ Sustituyó $a_1+2d$ por $2$ y calculó la diferencia común $d$ de la progresión $(a_n)$: $$ \begin{gather} 2+2d=\frac{2+10d}{2} \cr d=\frac13 \end{gather} $$ Para acabar, calculó $a_1$ y halló la fórmula del término general de la progresión $(a_n)$: $$ \begin{gather} a_1=2-2d=\frac43 \cr a_n=\frac43+(n-1)\frac13 \cr a_n=1+\frac{n}3 \end{gather} $$
Jan razonó de la siguiente forma: Si $a_3$, $a_5$ y $a_{13}$ son tres términos consecutivos de una progresión geométrica, entonces $$ \frac{a_1+4d}{a_1+2d}=\frac{a_1+12d}{a_1+4d} $$
Sustituyó $a_1+2d$ por $2$ y obtuvo: $$ \frac{2+2d}{2}=\frac{2+10d}{2+2d} $$
Después, eliminó la fracción de la última ecuación y calculó la diferencia común: $$ \begin{gather} 4+8d+4d^2=4+20d \cr 4d(d-3)=0 \cr d=0,~d=3 \end{gather} $$
Lo último que le quedaba por hacer era determinar $a_1$ y la fórmula para $a_n$.
Para $d=0$ obtuvo: $$ a_1=2,~a_n=2 $$ Para $d=3$ obtuvo $$ a_1=-4 $$ $$ a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n $$
Según él, existen dos progresiones aritméticas que cumplen las condiciones de la tarea.
Lucie recordó que para tres términos consecutivos de una progresión geométrica $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ se debe cumplir: $$ (a_1+4d)^2=(a_1+2d)(a_1+12d) $$ Calculó los paréntesis de ambos miembros de la ecuación y la simplificó: $$ \begin{gather} a_1^2+8a_1 d+16d^2= a_1^2+14a_1 d+24d^2 \cr 6a_1 d+8d^2=0 \cr d(6a_1+8d)=0 \end{gather} $$ Luego razonó que la última ecuación se cumple si $d=0$ o $a_1=-\frac43 d$.
Para $a_1=-\frac43 d$ obtuvo $$ \begin{gather} -\frac43 d+2d=2 \cr d=3\end{gather} $$ Luego $$a_1=-4$$ y $$a_n=-4+(n-1)\cdot 3=-7+3n$$
Para $d=0$ obtuvo $$a_1=2,~a_n=2$$
Lucie llegó a la conclusión de que existen dos progresiones aritméticas que cumplen las condiciones de la tarea.
¿Cuál de ellos resolvió la tarea correctamente?
Ninguno de ellos.
Marek.
Jan y Lucie.
Jan y Lucie habrían resuelto la tarea correctamente si hubieran excluido la solución $d=0$. En este caso la progresión $(a_n)$ es constante, lo que contradice el enunciado de la tarea.