Zobacz, jak John rozwiązał to równanie: $$ \sqrt{x-1+\sqrt{x+2}}=3,~x \in \mathbb{R} $$
(1) Podniósł do kwadratu obie strony równania: $$x-1+\sqrt{x+2}=9$$.
(2) Wyodrębnił radykalne wyrażenie po lewej stronie równania: $$\sqrt{x+2}=10-x$$.
(3) Ponownie podniósł do kwadratu obie strony równania: $$x+2=100-20x+x^2$$.
(4) Następnie uporządkował wyrazy i rozwiązał otrzymane równanie: $$ \begin{align} x^2-21x+98=0 \cr D=(-21)^2-4\cdot 1 \cdot 98=49 \cr x_{1,2}=\frac{-(-21)\pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \cr x_1=14 \mathrm{~i~} x_2=7 \end{align} $$
(5) W odpowiedzi Jan stwierdził, że podane równanie ma dwa rozwiązania, $x_1=14$ i $x_2=7$.
Nauczyciel zapytał uczniów, czy rozwiązanie jest poprawne i czy dane równanie rzeczywiście ma dwa rozwiązania. Oto kilka odpowiedzi. Która z nich jest poprawna?
Kate uważa, że John popełnił błąd w kroku (4). Powinno być $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-21\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1} \cr x_1=-7 \mathrm{~i~} x_2=-14 \end{align} $$ i gdybyśmy mieli zastąpić $-7$ lub $-14$ dla $x$ w oryginalnym równaniu, zawsze otrzymalibyśmy pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Według niej równanie to nie ma rozwiązania.
b) Fred uważa, że John popełnił błąd w kroku (3). Powinno być $$ \begin{align} x+2=100-10x+x^2 \cr x^2-11x+98=0 \cr D =(-11)^2-4 \cdot 1 \cdot 98<0 \end{align} $$ co oznacza, że równanie nie ma rozwiązania.
Helena jest przekonana, że rozwiązanie nie jest prawidłowe. Jan nie sprawdził rozwiązania. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim $x=7$.
James nie zgadza się z Heleną. Dla niego równanie ma również rozwiązanie $x_1=14$: $L=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+(-4)}=\sqrt{9}=3=P$, (możemy przyjąć $\sqrt{16}=\pm 4$), więc wszystko się zgadza, a równanie ma dwa rozwiązania.
Sprawdzenie dla $x=7$: $$ L=\sqrt{7-1+\sqrt{7+2}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3,~P=3,~L=P. $$ Sprawdzenie dla $x=14$: $$ L=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+4}=\sqrt{17},~P=3,~L\neq P. $$ Zapamiętaj: Operacja pierwiastkowania daje nam tylko dodatni pierwiastek kwadratowy! Na przykład $\sqrt{16}=4$, a nie zarówno $-4$ jak i $4$, nawet jeśli $(-4)^2=4^2=16$.