Pozrite sa, ako Ján vyriešil rovnicu: $$ \sqrt{x-1+\sqrt{x+2}}=3,~x \in \mathbb{R} $$
(1) Obe strany rovnice umocnil: $$x-1+\sqrt{x+2}=9$$
(2) Izoloval výraz s odmocninou na ľavej strane rovnice: $$\sqrt{x+2}=10-x$$
(3) Znovu umocnil obe strany rovnice: $$x+2=100-20x+x^2$$
(4) Potom usporiadal členy na ľavú stranu a vyriešil výslednú rovnicu: $$ \begin{align} x^2-21x+98=0 \cr D=(-21)^2-4\cdot 1 \cdot 98=49 \cr x_{1,2}=\frac{-(-21)\pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \cr x_1=14 \mathrm{~a~} x_2=7 \end{align} $$
(5) V odpovedi Ján uviedol, že daná rovnica má dve riešenia, $x_1=14$ a $x_2=7$.
Učiteľ sa spýtal študentov, či je toto riešenie správne a či daná rovnica má naozaj dve riešenia. Tu sú niektoré odpovede. Ktorá z nich je správna?
Katka si myslí, že Ján urobil chybu v kroku (4). Malo to byť $$ \begin{align} x_{1,2}=\frac{-21\pm \sqrt{49}}{2\cdot 1} \cr x_1=-7 \mathrm{~a~} x_2=-14 \end{align} $$ a ak by sme v pôvodnej rovnici nahradili $-7$ alebo $-14$ za $x$, vždy by sme dostali druhú odmocninu zo záporného čísla. Podľa nej rovnica nemá riešenie.
Fred si myslí, že Ján urobil v kroku (3) chybu. Malo to byť $$ \begin{align} x+2=100-10x+x^2 \cr x^2-11x+98=0 \cr D =(-11)^2-4 \cdot 1 \cdot 98<0 \end{align} $$ čo znamená, že rovnica nemá riešenie.
Helena je presvedčená, že riešenie nie je správne. Ján neurobil skúšku. Rovnica má len jedno riešenie, a to $x=7$.
Jakub s Helenou nesúhlasí. Podľa neho má rovnica aj riešenie $x_1=14$: $L=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+(-4)}=\sqrt{9}=3=P$, (môžeme použiť $\sqrt{16}=\pm 4$), takže všetko je v poriadku a rovnica má dve riešenia.
Skúška pre $x=7$: $$ L=\sqrt{7-1+\sqrt{7+2}}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3,~P=3,~L=P. $$ Skúška pre $x=14$: $$ L=\sqrt{14-1+\sqrt{14+2}}=\sqrt{13+4}=\sqrt{17},~P=3,~L\neq P. $$ Zapamätajte si: Operácia druhej odmocniny nám dáva len kladný výsledok! Napríklad $\sqrt{16}=4$, nie $-4$ aj $4$, hoci $(-4)^2=4^2=16$.