Zadanie: Wykres funkcji: $$f(x)=3\cos\left(\frac x2+\frac{\pi}{4}\right)$$ Margaret naszkicowała wykres funkcji $f$ w następujących krokach (patrz rysunek): (1) Oświadczyła, że funkcją nadrzędną $f$ jest funkcja: $$f_1 (x)=\cos x$$ i naszkicowała jego wykres (na zielono).
(2) Następnie wzięła pod uwagę współczynnik $\frac12$ na $x$, co wpływa na okres funkcji $f$. Naszkicowała wykres (na niebiesko) tej funkcji: $$f_2 (x)=\cos\frac x2$$ (3) Następnie Margaret oświadczyła, że wykres funkcji: $$f_3 (x)=\cos\left(\frac x2+\frac{\pi}{4}\right)$$ uzyskuje się przez przesunięcie wykresu $f_2$ wzdłuż osi $x$ przez wartość, która jest określona przez następującą modyfikację równania dla $f_3$: $$f_3 (x)=\cos\left[\frac12\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]$$ Dlatego wykres $f_3$ uzyskuje się przez przesunięcie wykresu $f_2$ przez $\frac{\pi}{2}$ w kierunku dodatnim wzdłuż osi $x$.
(4) Wreszcie, wzięła pod uwagę współczynnik $3$, co wpływa na zakres funkcji $f$. Pomnożyła każdą wartość $f_3$ przez $3$, rozciąganie wykresu $f_3$ w pionie o współczynnik $3$, i otrzymała wynikowy wykres (w kolorze czerwonym) funkcji $f$.
Margaret popełniła błąd w swojej procedurze. W którym kroku Margaret popełniła błąd?
Błąd tkwi w kroku (1). Wykres funkcji $f_1(x)=\cos x$ nie odpowiada wykresowi $f_1$ na rysunku.
Błąd znajduje się w kroku (2). Małgosia nieprawidłowo wyznaczyła najmniejszy okres funkcji $f_2$. Prawidłowy najmniejszy okres $f_2$ powinna być o połowę mniejsza od funkcji $f_1$, nie dwa razy większa.
Błąd tkwi w kroku (3). Wykres $f_3$ powinien zostać utworzony poprzez przesunięcie wykresu $f_2$ o wartość $\frac{\pi}{2}$, ale w kierunku ujemnym osi $x$.
Błąd występuje w kroku (4). Współczynnik $3$ przesuwa wykres funkcji $f_3$ pionowo w kierunku osi $y$.
Prawidłowy wykres funkcji $f_3$ uzyskuje się przez przesunięcie wykresu funkcji $f_2$ przez $\frac{\pi}{2}$ w kierunku ujemnym wzdłuż osi $x$.
