Task: Representa gráficamente la función: $$f(x)=3\cos\left(\frac x2+\frac{\pi}{4}\right)$$ Margaret dibujó la gráfica de la función $f$ en los siguientes pasos (ver la imagen):
(1) Afirmó que la función matriz de $f$ es la función: $$f_1 (x)=\cos x$$ y dibujó su gráfica (en verde).
(2) Entonces consideró el coeficiente $\frac12$ con $x$, lo que afecta al periodo de la función $f$. Dibujó la gráfica (en azul) de la función: $$f_2 (x)=\cos\frac x2$$ (3) Después, Margaret afirmó que la gráfica de la función: $$f_3 (x)=\cos\left(\frac x2+\frac{\pi}{4}\right)$$ se obtiene desplazando la gráfica de $f_2$ en el eje $x$ por un valor que viene determinado por la siguiente modificación de la ecuación para $f_3$: $$f_3 (x)=\cos\left[\frac12\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]$$ Por tanto, la gráfica de $f_3$ se obtiene desplazando la gráfica de $f_2$ en $\frac{\pi}{2}$ hacia la dirección positiva del eje $x$.
(4) Por último, consideró el coeficiente $3$, que afecta al recorrido de la función $f$. Multiplicó cada valor de $f_3$ por $3$, estirando la gráfica de $f_3$ verticalmente por el factor $3$, y obtuvo la gráfica resultante (en rojo) de la función $f$.
Margaret cometió un error en su procedimiento. ¿En qué paso cometió el error Margaret?
El error está en el paso (1). La gráfica de la función $f_1(x)=\cos x$ no correspnde a la gráfica de $f_1$ en la imagen.
El error está en el paso (2). Margaret no determinó correctamente el menor periodo de la función $f_2$. El periodo correcto de $f_2$ debería ser la mitad del de la función $f_1$, no el doble.
El error está en el paso (3). La gráfica de $f_3$ se debría crear desplazando la gráfica de $f_2$ con el valor de $\frac{\pi}{2}$, pero en la dirección negativa del eje $x$.
El error está en el paso (4). El coeficiente $3$ desplaza la gráfica de la función $f_3$ verticalmente en la dirección del eje $y$.
La gráfica correcta de la función $f_3$ se obtiene desplazando la gráfica de la función $f_2$ en $\frac{\pi}{2}$ hacia la dirección negativa del eje $x$.
