Uprość wyrażenie liczbowe $\sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$.
Luke rozwiązał zadanie w następujący sposób: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&\stackrel{(1)}=\cr \stackrel{(1)}=\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)&\stackrel{(2)}=\cr \stackrel{(2)}=\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt3+\sqrt7&\stackrel{(3)}=\cr \stackrel{(3)}=2\cdot\sqrt7-2\cdot\sqrt3&\stackrel{(4)}=\cr \stackrel{(4)}=2\cdot\left(\sqrt7-\sqrt3\right)& \end{aligned}$$
Czy rozwiązanie Łukasza jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Łukasz popełnił błąd w procedurze.
Rozwiązanie Luke'a jest poprawne.
Błąd tkwi w równaniu (1). Łukasz nieprawidłowo określił wartość pewnego pierwiastka kwadratowego.
Błąd tkwi w równości (2). Łukasz nieprawidłowo usunął niektóre nawiasy w wyrażeniu.
Błąd tkwi w równaniu (3). Łukasz nieprawidłowo obliczył niektóre wartości w wyrażeniu.
W powyższym rozwiązaniu Łukasz błędnie założył, że $\sqrt{a^2}=a$. Jest to jednak prawda tylko dla $a\geq0$. Z definicji wynika, że: $$ \sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{aligned} a\quad \mbox{dla}\ a\geq0,\cr -a\quad \mbox{dla}\ a<0.\end{aligned}\right. $$
W ten sposób Łukasz nieprawidłowo wyznaczył wartość pierwiastka kwadratowego $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$. Ponieważ $\sqrt3-\sqrt7<0$, to $\sqrt{\left( \sqrt3-\sqrt7\right)^2}\neq\sqrt3-\sqrt7$ a $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}=\left|\sqrt3-\sqrt7\right|=-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)=\sqrt7-\sqrt3$.
Poprawne rozwiązanie to: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&=\cr =\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt7-\sqrt3\right)&=\cr =\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt7+\sqrt3&=0 \end{aligned}$$