Zjednodušte číselný výraz $\sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$.
Lukáš vyřešil úlohu takto: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&\stackrel{(1)}=\cr \stackrel{(1)}=\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)&\stackrel{(2)}=\cr \stackrel{(2)}=\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt3+\sqrt7&\stackrel{(3)}=\cr \stackrel{(3)}=2\cdot\sqrt7-2\cdot\sqrt3&\stackrel{(4)}=\cr \stackrel{(4)}=2\cdot\left(\sqrt7-\sqrt3\right)& \end{aligned}$$
Je Lukášovo řešení správné? Pokud ne, určete, kde udělal Lukáš chybu.
Lukášovo řešení je správné.
Chyba je v rovnosti (1). Lukáš nesprávně určil hodnotu některé druhé odmocniny.
Chyba je v rovnosti (2). Lukáš nesprávně odstranil některé závorky ve výrazu.
Chyba je v rovnosti (3). Lukáš nesprávně spočítal některé hodnoty ve výrazu.
Ve výše uvedeném řešení Lukáš nesprávně předpokládal, že $\sqrt{a^2}=a$. To však platí jen pro $a\geq0$. Podle definice platí: $$ \sqrt{a^2}=|a|=\left\{\begin{aligned} a\quad \mbox{pro}\ a\geq0,\cr -a\quad \mbox{pro}\ a<0.\end{aligned}\right. $$
Lukáš tedy nesprávně určil hodnotu druhé odmocniny $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}$. Protože $\sqrt3-\sqrt7<0$, tak $\sqrt{\left( \sqrt3-\sqrt7\right)^2}\neq\sqrt3-\sqrt7$, ale platí: $\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}=\left|\sqrt3-\sqrt7\right|=-\left(\sqrt3-\sqrt7\right)=\sqrt7-\sqrt3$.
Správné řešení je: $$\begin{aligned} \sqrt{\left(\sqrt7-\sqrt5\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt3-\sqrt7\right)^2}&=\cr =\left(\sqrt7-\sqrt5\right)+\left(\sqrt5-\sqrt3\right)-\left(\sqrt7-\sqrt3\right)&=\cr =\sqrt7-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt3-\sqrt7+\sqrt3&=0 \end{aligned}$$