Znajdź najmniejszą pięciocyfrową liczbę naturalną, której iloczyn cyfr wynosi $3\, 024$.
Simona rozwiązała problem w następujących krokach:
(1) Dokonała rozkładu liczby $3\, 024$ do iloczynu czynników pierwszych: $$\begin{aligned} 3 024&=2\cdot1\, 512=\cr &=2\cdot2\cdot756= \cr &=2\cdot2\cdot2\cdot378=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot189=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot63=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot21=\cr &=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cr \end{aligned}$$
(2) Przepisała wynik jako iloczyn pięciu jednocyfrowych czynników: $$3\, 024=2^4\cdot3^3\cdot7^1=2\cdot2^3\cdot3\cdot3^2\cdot7^1$$
(3) Twierdziła, że pięć najmniejszych cyfr, których iloczyn wynosi $3\, 024$, to: $$2, 8, 3, 9, 7$$
(4) Ułożyła cyfry w porządku rosnącym i stwierdziła, że najmniejsza pięciocyfrowa liczba naturalna, której iloczyn cyfr wynosi $3\, 024$, to: $$23\, 789$$ Czy rozwiązanie Simony jest prawidłowe? Jeśli nie, wskaż, gdzie Simona popełniła błąd w procedurze.
Rozwiązanie Simony jest prawidłowe.
Błąd występuje w kroku (1). Simona popełniła błąd podczas rozkładania liczby $3\, 024$ na czynniki pierwsze.
Błąd znajduje się w kroku (3). Simona nie wybrała prawidłowych cyfr w 5-cyfrowej liczbie, aby była ona jak najmniejsza.
Błąd występuje w kroku (4). Simona nie napisała najmniejszej możliwej naturalnej liczby cyfr.
Simona nie zdawała sobie sprawy, że liczba $1$ nie jest uwzględniona w rozkładzie na liczby pierwsze. Mimo że nie jest liczbą pierwszą, jest zarówno cyfrą, jak i liczbą. Zatem: $$3\, 024=1\cdot2^4\cdot3^3\cdot7^1=1\cdot(2\cdot3)\cdot 2^3\cdot3^2\cdot7^1$$ Pięć najmniejszych cyfr, których iloczyn wynosi $3\, 024$ to: $$1, 6, 8, 9, 7.$$ Porządkując je w kolejności rosnącej, otrzymujemy najmniejszą pięciocyfrową liczbę naturalną $16\, 789$, której iloczyn cyfr wynosi $3\, 024$.